[MD-sorular] Tutarsızlık

[Burak Kaya]

Gabriel'in kornasını (bahsettiğiniz cismin ismidir) sonlu miktarda boya ile
boyayabilirsiniz, içine dökersiniz olur biter!

Sonlu miktarda boya ile sonsuz alan boyanamayacağını nereden çıkarttınız,
boyanız yeterince matematiksel ise (kalınlığı yok ise) sorun yok!  Düzlemde
[-1,1]x[0,1] şeklinde gerçel sayıların üzerine konulmuş bir bal kütlesi
hayal edin! Zaman geçtikçe yer çekimi sağolsun bu kütle [-2,2]x[0,1/2],
[-3,3]x[0,1/3],... şeklinde görünmeye başlayacak şekilde "dağılsın".
Viskozite ile ilgili fiziksel gerçekleri matematiksel dünyamızda göz ardı
ettiğiniz zaman hacmi sürekli 2 birim kalan bal kütlesi bakın ne güzel de
sonsuz alanı yavaş yavaş tatlandırabiliyor!

Gabriel'in kornasına gerek kalmadan tek boyut ile iki boyut arasında
bahsettiğiniz fenomeni görelim: http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_curve

Koch kar tanesi (iterasyonu sonsuz defa yaptıktan sonra) çevresi sonsuz ama
çevrelediği alan sonlu olan bir eğridir!

Genel olarak bu tip düşünmesi eğlenceli ama "matematiksel dünya" ile
"fiziksel dünya" arasında dikkatsizce gidip gelmekten kaynaklanan
paradokslara ilişkin kişisel görüşümü de söylemek istiyorum: Hani gerçel
sayılar falan iyi güzel şeyler tabii de ne yazık ki pek "gerçel"
olduklarına inanmıyorum. Bugüne kadar kimsenin bir portakalı sonlu parçaya
kesip aynı portakaldan iki tane oluşturacak şekilde birleştirdiğine ve
hacimleri tanımlı olmayan cisimlerle uğraşıldığına rastlamadım! Zira gerçek
hayatta ölçebileceğiniz, "zoom" yapabileceğiniz şeylerin sınırı var. Gerçel
sayıları çizgisi gibi ideal değiller pek.

Not: Görelilikle ilgili yazdığınız şeye gelirsek, "sonsuz ama sınırlı"
dediklerine emin misiniz? "Sonlu ama sınırsız" diyor olabilirler mi? Çünkü
verdiğiniz küre örneği "boundary"si olmayan bir "compact" (ve dolayısıyla
"bounded") manifolddur, belki terimlerin çevirisini diğer türlü
yapmışlardır.


2013/4/22 dede <dede_47 at mynet.com>

>  Sayın Üyeler;
>
>
>
> Eğer *y(x)=1/x*  eğrisinin  x ekseni etrafında döndürürsek, sonsuz uzun
>
> zurna/huni şeklinde bir dönel cisim oluşacaktır. Bu dönel cismin:
>
> a) Önce bu cismin x=1 den sonsuza kadar hacmini, bilinen formülle
>
>     hesaplarsak *V=pi* buluruz. *Yani bu cismin hacmi sonlu bir değerdir.*
>
> b) Aynı dönel cismin verilen sınırlar arasında ki dönel yüzey alanı, yine
> bilinen
>
>     formülle hesaplanırsa bu kez cismin dönel *yüzey alanı sonsuz olarak *
>
> *     hesaplanacaktır.*
>
> Şimdi elimizde hacmi sonlu/sınırlı ama dönel yüzey alanı sonsuz olan bir
> cisim
>
> var. Bu cismin içini sonlu miktar boya ile doldurabiliriz; ama iç/dış
> yüzeyini
>
> boyamak için "sonsuz" miktar boyaya ihtiyacımız var.(Matematikte, yüzey
>
> kalınlığının "sıfır" kabul edildiğini hatırlayalım; yani cismimiz de
>
> iç yüzey alanı=dış yüzey alanı demektir.)*Bu durumu, nasıl
> açıklayabiliriz?*
>
> Not: Görelilik kuramında evrenin büyüklüğü anlatılırken "sonsuz, ama
> sınırlı"
>
> bir hacimden bahsedilir; örnek olarak küre gösterilir ve " bir kürenin
> hacmi
>
> sonlu ama yüzeyi sonsuzdur; zira yüzey üzerinde bir sinek sonsuza kadar
>
> dolaşabilir, yüzeyin sonunu bulamaz." denilir. Bu sözü hiç "anlayamadım";
>
> zira küre yüzeyi sonsuz değil, sonludur; sineğin dolaşması ise
> "dönemli(periodic)"
>
> bir dolaşmadır. Bu mantıkla evrende her şeyin yüzeyi sonsuzdur; bir sinek,
>
> Mobius şeridinde de "sonsuza kadar" yürüyebilir; şimdi Mobius şeridinin de
>
> yüzeyi sonsuz mu? Sonuç olarak: Yukarıda ki matematik "tutarsızlık" için de
>
> görelilik kuramında ki gibi "absürd" bir açıklama değil; tutarlı/kabul
> edilebilir/
>
> anlaşılır bir açıklama yapabilir misiniz?(Ben yapamıyorum.)
>
> Saygılarımla
>
>
>
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Burak.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20130422/1d1b1cde/attachment.htm>