[MD-sorular] Ynt: Re: Tutarsızlık

[Burak Kaya]

Sayın Değirmencioğlu,

pi, e gibi sayılarla uğraşıyorsanız gene şanslısınız, en azından ondalık
basamaklarını istediğiniz hassasiyette hesaplamanızı sağlayan algoritmalar
var. Bir de basamaklarını üretmek için algoritmalar olmayan sayılar var ki
gerçel sayıların "çoğu" oluyor bunlar, asıl sorun onlardan çıkıyor.
İlginizi çekebilir:
http://en.wikipedia.org/wiki/Computable_numbers
http://en.wikipedia.org/wiki/Chaitin%27s_constant
Hatta: http://www.cs.auckland.ac.nz/~chaitin/olympia.pdf

Hesaplanabilirlik ile ilgili kısımları bir kenara bırakırsak yazdığınız
şeyin kendimce biraz daha farklı halini dile getireyim: Sayılamaz sonsuzluk
tüm kötülüklerin anasıdır! Doğada karşılığı olmayan ve absürt düşünce
deneylerine mahal veren matematiksel objelere/argümanlara/patolojik
örneklere genel olarak hepsinin "istismar" ettiği özelliğin sayılamaz
sonsuzluk (ya da köşegenleştirme "diagonalization") olduğunu görebilirsiniz.

Böyle boyamalı falan düşünce deneylerine gitmenize gerek kalmadan daha
basit bir sorun ile karşı karşıya bırakayım sizi.

Gerçel sayılar ne kadar gerçeller? Bildiğiniz üzere matematiğin standart
temelleri gerçel sayıların ne kadar büyük olduklarına bile karar veremiyor.
Süreklilik hipotezi (continuum hypothesis) standart aksiyomlardan bağımsız.
Yani, doğal sayıların kuvvet kümesini -ki gerçel sayılarla arasındaki
eşlemeden dolayı bu kümeye gerçel sayılar diyeceğim, P(N)'i tarif edip
kullansak bile kendisinin bazı çok temel özelliklerini anlayamıyoruz!

Hatta genel olarak kuvvet kümesi operasyonunu bile tam olarak
anlayamıyoruz! Size çok masumane gözüken bir önerme yazayım:

Her A ve B kümesi için A'nın eleman sayısı B'den "strict" bir şekilde az
ise, yani |A|<|B| ise, (eş değer bir ifade olarak A'dan B'ye birebir bir
fonksiyon var ama örten bir fonksiyon yok), o zaman |P(A)|<|P(B)| olur,
yani A'nın kuvvet kümesi de "strict" bir şekilde B'nin kuvvet kümesinden
azdır.

Şöyle bir bakınca ne kadar doğru gözüküyor değil mi? Eğer matematiksel
dünyada biraz adalet varsa A, B'den küçükse tabii ki de A'nın B'den daha az
alt kümesi olmalı. (Hatta bu sözde "teoremi" makalelerinde kullanan
matematikçiler bile var.)

Öte yandan bu masum önerme bile standart aksiyomlarımızdan bağımsız!
Genelleştirilmiş süreklilik hipotezi altında doğru, Martin'in beliti
altında yanlış -ki bu iki belit de aksiyomlardan bağımsız.

Bu iki belitin hiç birine kimse şu ana kadar "gerçek" hayata bakarak doğru
ya da yanlış diyemediği için sadece buna bile dayanarak kuvvet kümesi
kavramının gerçek hayatla, doğayla ilgili herhangi bir şey yansıtmadığını
iddia edebilirim!

Gerçek hayatta sadece 0 ve 1'lerden oluşan dizileri hayal etmek kolay.
Matematiksel dünyaya geçip 0 ve 1'lerden oluşan "tüm" diziler deyince ama
(ki P(N) ile aynı şey bu) artık ortada ne olduğuna karar veremediğimiz bir
topluluk kalıyor! Demem odur ki gerçel sayılar pek gerçel değiller.

Niye bunu yazdım? Matematikteki objeler gerçek hayattan ilham alıyorlar
belki de ilk çıkış noktası olarak. Ama bu demek değildir ki gerçek hayatı
herhangi bir şekilde yansıtmak zorunda kalsınlar. Matematiksel dünyaya
geçtiğimizde objeleri idealize ediyoruz çünkü.

Not: Öte yandan 0 ve 1'lerden oluşan periyodik diziler, hesaplanabilir
diziler vs. gibi büyüklüğü sayılabilir kalan gerçel sayılarla
ilgilenirseniz sadece gerçek hayat ile çelişen bir sonuç elde
edebileceğinizden emin değilim!

Sayılabilir sonsuzluk iyidir, güzeldir :)

Burak.

2013/4/24 dede <dede_47 at mynet.com>
>
> 1)Matematiğin bulduğu bir sonuçta eğer
> oransız(irrational)/aşkın(transandental)
>
> bir sayı(lar) varsa bu sonuç "belirsizdir";  zira bu sayıların ondalık
> kısımlarının hane
>
> sayısı  sonsuzdur. Yer küre üzerinde yaşamın var olmasından yok olmasına
> kadar hiç
>
> kimse "bir kürenin hacmini" tam/doğru hesaplayamadı/hesaplayamayacaktır da.
>
> Ama fiziki dünyada sonsuz bir yüzey sonlu miktar boya ile veya sonsuz bir
> hacım
>
> sonlu miktar maddeyle  her zaman doldurulabilir; dedim ya "doğa daima
> pratik çalışır"
>
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
-- 
Burak.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20130424/a6895b43/attachment.htm>