[MD-sorular] Ynt: Re: Ynt: Re: Tutarsýzlýk

[dede]

Sayın Burak Kaya;
 
Ben,eğitim hayatımda "matematik eğitimi"alarak gelmedim.Elektrik
 
mühendisiyim.Yazdığınız konuları "ucundan/bucağından" kendi kendime az çok
öÄŸrenebildim; bu konularda kafamdaki sorulara az/çok yanıt verebilmek için
iÅŸte böyle "e ve pi gibi" sayılarla uÄŸraÅŸarak "ucundan/kenarından" yanıt
bulmaya çalışıyorum.Matematik sembolizmine/terminolojisine boÄŸmadan
yazdıklarınız  bu soruları baÅŸka açılardan da düÅŸünmeme "kapı araladı";
teÅŸekkür ederim.
Tekrar sağlık dileklerimle;
Ä°yi çalışmalar...
 
A.Kadir DeÄŸirmencioÄŸlu
 ----- Özgün Ä°leti -----Kimden : burakvonkaya at gmail.comKime : dede <dede_47 at mynet.com>Cc : md-sorular at matematikdunyasi.orgGönderme tarihi : 24 Nisan 2013 ÇarÅŸamba 19:22Konu : Re: Ynt: Re: [MD-sorular] Tutarsızlık
Sayın Değirmencioğlu,
 
pi, e gibi sayılarla uÄŸraşıyorsanız gene ÅŸanslısınız, en azından ondalık basamaklarını istediÄŸiniz hassasiyette hesaplamanızı saÄŸlayan algoritmalar var. Bir de basamaklarını üretmek için algoritmalar olmayan sayılar var ki gerçel sayıların "çoÄŸu" oluyor bunlar, asıl sorun onlardan çıkıyor. Ä°lginizi çekebilir: http://en.wikipedia.org/wiki/Computable_numbershttp://en.wikipedia.org/wiki/Chaitin%27s_constant Hatta: http://www.cs.auckland.ac.nz/~chaitin/olympia.pdf
 
Hesaplanabilirlik ile ilgili kısımları bir kenara bırakırsak yazdığınız ÅŸeyin kendimce biraz daha farklı halini dile getireyim: Sayılamaz sonsuzluk tüm kötülüklerin anasıdır! DoÄŸada karşılığı olmayan ve absürt düÅŸünce deneylerine mahal veren matematiksel objelere/argümanlara/patolojik örneklere genel olarak hepsinin "istismar" ettiÄŸi özelliÄŸin sayılamaz sonsuzluk (ya da köÅŸegenleÅŸtirme "diagonalization") olduÄŸunu görebilirsiniz.
 
Böyle boyamalı falan düÅŸünce deneylerine gitmenize gerek kalmadan daha basit bir sorun ile karşı karşıya bırakayım sizi.
 
Gerçel sayılar ne kadar gerçeller? BildiÄŸiniz üzere matematiÄŸin standart temelleri gerçel sayıların ne kadar büyük olduklarına bile karar veremiyor. Süreklilik hipotezi (continuum hypothesis) standart aksiyomlardan bağımsız. Yani, doÄŸal sayıların kuvvet kümesini -ki gerçel sayılarla arasındaki eÅŸlemeden dolayı bu kümeye gerçel sayılar diyeceÄŸim, P(N)'i tarif edip kullansak bile kendisinin bazı çok temel özelliklerini anlayamıyoruz!
 
Hatta genel olarak kuvvet kümesi operasyonunu bile tam olarak anlayamıyoruz! Size çok masumane gözüken bir önerme yazayım:Her A ve B kümesi için A'nın eleman sayısı B'den "strict" bir ÅŸekilde az ise, yani |A|<|B| ise, (eÅŸ deÄŸer bir ifade olarak A'dan B'ye birebir bir fonksiyon var ama örten bir fonksiyon yok), o zaman |P(A)|<|P(B)| olur, yani A'nın kuvvet kümesi de "strict" bir ÅŸekilde B'nin kuvvet kümesinden azdır.
 
Åžöyle bir bakınca ne kadar doÄŸru gözüküyor deÄŸil mi? EÄŸer matematiksel dünyada biraz adalet varsa A, B'den küçükse tabii ki de A'nın B'den daha az alt kümesi olmalı. (Hatta bu sözde "teoremi" makalelerinde kullanan matematikçiler bile var.)
 
Öte yandan bu masum önerme bile standart aksiyomlarımızdan bağımsız! GenelleÅŸtirilmiÅŸ süreklilik hipotezi altında doÄŸru, Martin'in beliti altında yanlış -ki bu iki belit de aksiyomlardan bağımsız.
 
Bu iki belitin hiç birine kimse ÅŸu ana kadar "gerçek" hayata bakarak doÄŸru ya da yanlış diyemediÄŸi için sadece buna bile dayanarak kuvvet kümesi kavramının gerçek hayatla, doÄŸayla ilgili herhangi bir ÅŸey yansıtmadığını iddia edebilirim!
 
Gerçek hayatta sadece 0 ve 1'lerden oluÅŸan dizileri hayal etmek kolay. Matematiksel dünyaya geçip 0 ve 1'lerden oluÅŸan "tüm" diziler deyince ama (ki P(N) ile aynı ÅŸey bu) artık ortada ne olduÄŸuna karar veremediÄŸimiz bir topluluk kalıyor! Demem odur ki gerçel sayılar pek gerçel deÄŸiller.
 
Niye bunu yazdım? Matematikteki objeler gerçek hayattan ilham alıyorlar belki de ilk çıkış noktası olarak. Ama bu demek deÄŸildir ki gerçek hayatı herhangi bir ÅŸekilde yansıtmak zorunda kalsınlar. Matematiksel dünyaya geçtiÄŸimizde objeleri idealize ediyoruz çünkü.
 
Not: Öte yandan 0 ve 1'lerden oluÅŸan periyodik diziler, hesaplanabilir diziler vs. gibi büyüklüÄŸü sayılabilir kalan gerçel sayılarla ilgilenirseniz sadece gerçek hayat ile çeliÅŸen bir sonuç elde edebileceÄŸinizden emin deÄŸilim!
 
Sayılabilir sonsuzluk iyidir, güzeldir :)
 
Burak.


2013/4/24 dede <dede_47 at mynet.com>


1)MatematiÄŸin bulduÄŸu bir sonuçta eÄŸer oransız(irrational)/aÅŸkın(transandental)
bir sayı(lar) varsa bu sonuç &ldquo;belirsizdir&rdquo;;  zira bu sayıların ondalık kısımlarının hane
sayısı  sonsuzdur. Yer küre üzerinde yaÅŸamın var olmasından yok olmasına kadar hiç
kimse &ldquo;bir kürenin hacmini" tam/doÄŸru hesaplayamadı/hesaplayamayacaktır da.
Ama fiziki dünyada sonsuz bir yüzey sonlu miktar boya ile veya sonsuz bir hacım
sonlu miktar maddeyle  her zaman doldurulabilir; dedim ya &ldquo;doÄŸa daima pratik çalışır&rdquo;
A.Kadir DeÄŸirmencioÄŸlu



-- Burak.

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20130424/c185d972/attachment.htm>