[MD-sorular] Re: iki katlý integralle kürenin hacmi

[barış uğurcan]

x^2+y^2<=R^2 bölgesi üzerinde f(x,y)=1 fonksiyonunun
integrali bize bölgenin alanýný veriyorsa,
x^2+y^2+z^2=R^2(1) in hacmini hesaplamak için f(x,y) i
uygun þekilde seçmemiz gerekir.Küre için,
x^2+y^2+z^2=R^2 ise
f(x,y)=z=(artý-eksi)(R^2-x^2-y^2)^1/2 Bunun için en
iyisi
polar koordinat kullanmak þöyleki: x=r*cost y=r*sint
ve 0<=t<=2pi, 0<=r<=R ise  (1) den
z=(R^2-x^2-y^2)^1/2=(R^2-r^2)^1/2. O zaman integrali
aþaðýdaki þekilde yazabiliriz:
  2pi R
  /   /
  |   | (R^2-r^2)^1/2 r drdt
  /   /
 0   0
  yukarýdaki integralin birinci bölümünü hesaplamak
için u=R^2-r^2 dönüþümü yapmak iþimizi kolaylaþtýrýr.
ikinci bölüm zaten direk çýkýyor. Sonuç olarak
yukarýdaki integral 0 noktasýnda R yarýçaplý bir
yarýmkürenin hacmini verir. 2 ile çarparak toplam
hacim bulunur. Niye yarým küreninkini bulduk sorusuna
gelince yukarýda uygun bir f(x,y) fonksiyonu bulacaðýz
dedik ama kürenin tümü bir fonksiyon tanýmlamaz.
Yukarýda sözü geçen x^2+y^2<=R^2 bölgesinde her nokta
için biri alt yarýmküre biri üst yarýmküre olmak üzere
iki tane deðer vardýr bir küre üzerinde. Yani, ayný
hesaplama altyarýmküreyi veren fonksiyonu yazarakta
yapýlabilir tabii ki bu sefer   
z=-(R^2-x^2-y^2)^1/2 yani baþýnda bir eksiyle...
hatta çeyrek  kürenin yüzeyini veren bir fonksiyon
bulup 4 le de çarpabilirdik bu durum için tek yapmamýz
gereken t nin deðiþimini 0<=t=<pi/2 olarak almak.
Saygýlar,
Barýþ Evren Uðurcan


		
____________________________________________________ 
Yahoo! Sports 
Rekindle the Rivalries. Sign up for Fantasy Football 
http://football.fantasysports.yahoo.com