[MD-sorular] Kartezyen Carpim sorusunun yaniti

[anesin at prol800.bilgi.edu.tr]

 Bir defa (X_i)_{i \in I} kumelerinin kartezyen carpiminin tanimlanmasi
icin {X_i : i \in I} toplulugunun bir kume olmasi gerekir. Bu kartezyen
carpim soyle tanýmlanir: Kartezyen carpimin her elemani I'den X_i
kumelerinin bilesimine giden ve her i \in I icin, f(i) \in X_i kosulunu
saglayan bir f fonksiyonudur. Bu fonksiyonlar toplulugunun bir kume oldugu
da fonksiyonun tanmimindan ve kumeler kuraminin basit aksiyomlarindan
cikar. 

Yani yanit "evet"tir. Kartezyen carpim tanimlandigi anda bir kumedir. Zaten
kumeler kuramina dayali matematikte kume olmayan bir sey tanimlanamaz. Kume
olmayan bir sey ancak metamatematikte tanimlanabilir.

Zor olan su: Eger hicbir X_i boskume degilse, X_i'lerin kartezyen carpimi
bos olabilir mi? Eger her X_i'de ortak bir x elemani varsa, o zaman (x)_{i
\in I} elemani kartezyen carpimda oldugundan, kartezyen carpim bos
degildir. Ama genel durumda kartezyen carpimin bos olmadigini gostermek
icin Secme Aksiyomunu (Axiom of Choice'u) kullanmak gerekir, hatta bu,
Secme Aksiyomu'na denktir. Kanit basit: X_i'lerin kartezyen carpiminin bos
olmamsi icin her X_i'den bir eleman secmemiz ve sectigimiz bu elemanlar
toplulugunun bir kume olusturmasi gerekir. Bu da aynen Secme Aksiyomu'dur.

Sevgiler,
Ali

(Benim Math 111 dersimin amaclarindan biri de bu gibi sorulara matematiksel
yanit vermektir.)


Original Message:
-----------------
From: E. Mehmet Kýral luzumi at gmail.com
Date: Sat, 13 Aug 2005 17:20:02 +0300
To: md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] Kartezyen Çarpýmý ve baþka bir soru


Bir takým kümenin (sonsuz sayýda) kartezyen çarpýmýnýn yine bir küme
olduðunu gösterebilir misiniz? Yoksa her kartezyen çarpýmý bir küme
deðil midir?

Ýkinci sorum ise farklý bir konuda. X, üzerinde tanýmlanmýþ bir sýra
baðýntýsý olan ve bu sýralama altýnda her altkümenin
enküçüküstsýnýrýnýn ve enbüyükaltsýnýrýnýn olduðu bir küme olsun. f, X
üzerinde tanýmlanmýþ bir fonksiyon olsun, öyle ki a<=b ise f(a) <=
f(b) olsun. Böyle bir durumda f(a) = a olan bir elemanýn varlýðýný
kanýtlayabilir misiniz?

Bu ikinci sorunun cevabý bir Matematik Dünyasýnda vardý sanýrým (ya da
benzer bir sorunun cevabý). Ancak þu anda Matematik Dünyalarýmdan
uzaðým.

-- 
E.M.K. (Eski Medeni Kanun)


--------------------------------------------------------------------
mail2web - Check your email from the web at
http://mail2web.com/ .