[MD-sorular] Re: MD-sorular Toplu Mesajý, Sayý 10, Konu 1

[OktayD]

Merhaba,
{
Ali Bey, bu sorulardan zamanımın yettiği kadarı üzerinde tartışmayı
düşünüyorum.

Limit Sorusu{
Aynı kanıtı delikli komşulukla da yapabiliriz. Fark eden bir şey olmaz. bize
gereken şeyler zaten delikli olduğu durumlardadır. Ama yine de eksik
tanımlama sayılır kusura bakmayın.

L=0 v L=1 ifadesine gelirsek, aslında bu ifadeyi kullanmam çok tehlikeli
olmuş, açık açık yazmalıydım her şeyi. Şu sonucun biri göstermeden anlaşılır
olabileceğini düşünmüştüm bir anlık:
0<|f(x)-L|<e
0<f(x)-L<e v 0<L-f(x)<e
burada f(x)=0 v f(x)=1 dir o halde:
1-e<L<1 v -e<L<0 v 1<L<e+1 v 0<L<e
görebiliriz ki bu önermenin tersi e ne olursa olsun doğrudur (çünkü tersini
alınca e>0 elde ederiz). O zaman kendisi yanlıştır (olmayana ergi, reducto
absrudum). Buradan da 0<|x-a|<d yi kullanarak L=0 v L=1 için en az bir e nin
seçilemeyeceğini görebiliriz, kanıtın ikinci kısmı olarak.

Yani yapmaya çalıştığım asıl şey bir L sayısının olamayacağını kanıtlamak
olduğu için eğer L varsa L nin 0 dan ve 1 den farklı olması durumunda e yi
istediğim gibi seçebiliyor ama L, 0 dan ve 1 den farklı olamıyordu, buna
karşın 0 ve 1 olduğunda da e yi istediğim gibi seçemiyorum.

Dikkatiniz için teşekkürler.
}

Aslında bir kanıtı hep matematiksel yazımla ifade etmek iletişim konusunda
çok kesin bir şey oluyor ama her zaman işime gelmiyor (kısıtlı zaman), zaten
bunu bir topluluğa sunarken bazıları bu tür notasyonlardan sıkılıyor ya da
pek alışkın olmuyor. Yukarıdaki kanıtta öyle yapmamama karşın yine de ben
matematiksel notasyon yanlısıyım. Bir de keşke bu forumda matematiksel
ifadeleri kullanabileceğimiz bir imkan olsaydı. Web forumları bu tür bir şey
için çok elverişli oluyor çünkü bazı java kodları bunu sağlayabiliyor.


Genelleme{
Ben irrasyonel sayılar kümesini Q' olarak göstermeye alıştım, öyle kalsın.
Ayrıca € işareti elemanıdır demek için güzel görünüyor. Bir de ! işaretini =
in soluna yazınca eşit değildir kullanmak akla yatkın ama önceki ifadeden
önce bir boşluk bırakalım ki faktoriyelle çakışmasın.

f(x)={ x€Q ise m; x€Q' ise n }; m,n€R ve m !=n
  1-) lim{x->m} f(x)=?
Bunu yapacağımıza 2. yi yapsak daha akıllıca:

 2-) lim{x->a} f(x)=? (a€R)
benim yukarıda sorunun özel hali için verdiğim kanıtın mantığıyla yapılıyor
sanırım. kısaca, 0<|f(x)-L|<e dan her e yi sağlayan L lerin aralıklarını
bulduktan sonra 0<|x-a|<d ifadesinden buulgunuzu çelişkiye düşürüyorsunuz...
Çok mu kısa oldu? Bulursunuz eminim. Hatta benim kanıtım biraz hantal gibi.
Daha iyi kanıtı olan vardır kesin.
}

Bombardıman{
1. O tanım bence eksik. Aslında ben matematikte cart curt herşeye tanım
konmasına pek sıcak bakmıyorum. Bazı şeyler tanımsız olabilir. Hatta iddia
ediyorum matematik tanımlar olmadan da aynı şeylere vardırır bizi. Tanım
olayın hantal görünmemesi için yapılan bir kısayoldur bence. Neyse... Cebir,
ya da Algebra, arapçadan geliyor. Arapçada cebere kökünün anlamı "zorlamak"
tır. Aldığı biçimle "zorlam" anlamına felan geliyor. Heralde zorlam denince
ne anlaşıldığını sezersiniz, çünkü Türkçe'de böyle bir sözcük yok, biraz
sezgi... Pek hatırlamıyorum ama ilk cebir kitabını yazanın AL-Khorezma
olduğunu sanıyorum, arap matematikçi. Algortimaları ilk kez o kullanmış,
problemlerin çözüm yordamı olarak. Zaten Algoritma yani Algorythm yani
Al-khorythm, onun adının biraz evrim geçirmiş halidir. Anısına verilmiş olsa
gerek. Bu adam cebirle içli dışlı uğraşmış ve bir ders kitabı yazmış. Cebir
olduğunu bildiğini sanmıyorum. Kitabının adında galiba cebir kelimesi
geçiyordu. Öyle kaldı. Emin değilim. Tabi sonra insanlıktan parlak
matematikçiler çıkmış olmalı ve bu kitabın dahilinde olan şeyleri
genişlettiklerinde Cebir için bir matematiksel kapsam getirmek sitenmiş
olmalı. Öğrencilerine öğretilebilsin diye. Şu kapalılık, değişme, vs
özellikler dahil grup cisim bilmemne hepsini kümeler kuramına dayandırmak
işten bile değil (Zermelo-Freiklen Sayılar Kuramı da kümeler kuramına
dayalıdır değil mi?). Ama nedense Cebir cebirdir. Ayrı bir şey sanki. Hayır
bence hepsi bir. Kümeler temel bir konu. Ama Gödel'e baktığımızda 1931 deki
kitabında bir teorem vermiş: "Tüm biçimsel dizgeler sayılar kuramına
eşbiçimlidir". (Dizge=sistem, kurallar bütünü; biçimsel=formel,
eşbiçimlilik=izomorphizma). Yani yazılı kurallara dökebileceğimiz her sistem
sayılar kuramı ile de betimelenebilir. Bir söz vardır: "Sayılar Kuramı,
matematiğin kraliçesidir" diye (sayılar kuramı bu sözün söylendiği dilde
dişi varlık olsa gerek :| ) Gödel bunu kanıtlamış (ayrıca sayılar kuramı
gödelin aldığı haliyle sadece doğal sayıları içeriyor!! 4 teoremi de bunun
üzerine dayandırılmış ve görüğüm en iyi kanıtlardı hayatımda!!!). O zaman
cebir çok temel bir şey olmuş oldu. Fizik de bir biçimsel dizgedir.
Kuralları belitleri (belit: axiom) tutarlılığı var. O zaman cebirsel bir
yapıya eşbiçimli olabilir. O zaman cebirin kullanım alanları arasında
fiziğin girmiş olması gayet mantıklıymış... O zaman böyle devam etmemizde
bir sakınca yok gibi...

3. Bu soruyu ayrıca ben de sormak isterim. Ama bildiğim Thomas w.
Hungerford'ın "Algebra"sı var, Springer-Verlag'dan çıkmış. Bir de Lindsey N.
Childs'dan "A Concrete Introduction to Higher Algebra" var yine Springer'dan
(Bu springer çok iyi şeyler veriyor, başka değişik konularda da dolu bu
kaynaktan oluyor.) Bunları bana önerdiler. Ben daha bulamadım bunları.
Aslında tam aramış değilim ama oturduğum şehirde olmadığından kesinkes
eminim :(

4. Ben öyle düşünüyordum, şüphelenmeli miyim yoksa? :|

5. Bana göre bahsetmek çok faydalı öğrenci için. Ama öte yandan öyle bir
başlamalı ki öğrenci ertesi derse konu hakkında 3 farklı kitap bulmuş
karıştırmış ve soru işaretleri artmış bir şekilde gelebilsin, yani teşvik
edici olmalı. Gerçi ben hocalarımdan bir şey beklemiyorum, kendim de
halledebilirim. Hatta kendim halletmiÅŸ olmak daha eÄŸlenceli :D

6. Ben verdiğiniz soyut somut tartışmasına katılmıyorum. Herşey soyuttur.
Somut soyuttan gelir diye düşünüyorum. Ben şu anda fizik okuyorum ve fiziğin
derinliklerine indikçe fiziğin soyut matematikten farkının kalmadığını
görüyorsunuz. Kuvvet, manyetik elektrik alanlar hep soyut işlenir zaten.
Göreli fizikte uzay zamanın yapısı direk geometridir. Yakında herşeyin
kuramını bulacağız gibi laflar ediyor, Roger Penrose, Stephen Hawking gibi
kuramsal fizikçiler. Öyle olsa bile bu kuramın tamamen matematiksel bir
sistem olacağını düşünüyorum. Denel gözlemlerin hiçbiri yok, deney ikinci
aşamada kalacak hep. Ama ben bu kuramı göremem heralde. Ya da görür müyüm??
:S

8. Ben hep şunu görmeyi istiyorum: sayıların belitleri verilir ardından
toplamanın belitleri ve tek bir tanımla çarpma!! Ben çarpmanın toplamadan
bağımsız bir işlem olmadığını kullanmak istiyorum. O zaman aslında sadece
toplama var. Gerisi bunun üzerine kurulmuş. Tabi daha derine inilebilir ama
o zaman cebirin dışına çıkmış oluruz(!). Toplamanın bilmediğimiz yanları
doğal sayılarda saklı bence. Gödel kanıtlamasıyla çok şeye ulaşabiliyoruz
(hatta bazı şeylere asla ulaşamayacağımıza bile ulaşabiliyoruz !). Yine aynı
derece bir kurnazlılıkla daha fazla şeye ulaşabilmeyi ummalı.. Ben toplamayı
peano yaklaşımıyla alabilirim:
t1) a+0=0
t2) a+b'=(a+b)'
Burada a ve b birer sayı ve x' sayısı x in ardılı (successor of x deniyor
ingilizcede). Peano nun sezgisel belitlerini matematiksel hale getirmekle
bunları elde edebiliriz. Peano çarpmayı da şöyle almış sayılır:
ç1) a*1=a
ç2) a*b'=a*b+a
Çarpmada toplama simgesi var! Olayı iyice algoritmik hale getirmiş oluyoruz.
Peki niye şöyle tanımlamıyoruz?:
ç0) a*b=a+a+a+...+a
b tane. Eksik mi? Eksik gibi görünüyor. Özellikle "b tane" ifadesi! ç2 ile
bir alakası var mı sizce? Bence aynı şeyler.
ç0 ifadesi a*b nin ne olduğunu söylüyor. Buna karşın ç2 öyle demiyor. Ama
şunu diyor: a sayısını b sayısıyla çarpmakla b nin ardılıyla çarpmak
arasında bir a fark vardır. Bunu algoritmik düşünelim: ç0 dan gidelim ve b=1
den başlayalım.
a*1=a, a*2=a+a, a*3=a+a+a, ....
buradan tümevarımla
a*b'=a*b+a
elde ederiz.
yani ç2
Ama sorun şu ki a*1=a ifadesiyle başladık. Bunu nerden biliyoruz? Yani "b
tane a" demek için ilk önce "1 tane a" demek gerekiyor. Diyebiliyorsak
sezgiseldir. Bunu kanıtlayamadığımız için ç1 belitini koyutlamışız. O zaman
elimize ne geçti? Hiçbir şey. Bilmiyorsak hala bilmiyoruz! Biliyrsak da
bilip bilmediÄŸimizi bilemeyiz.

10. Yine Gödel işin içine girecek ama olsun. Ben Goldbach sanısı hakkında
onu çürütmeye ya da kanıtlamaya yönelik girişimlerin bir sonuca
varmayacağını düşünüyorum. Yani kimse bunu ne kanıtlayabilir ne çürütebilir!
Beceremez değil Yapamaz! İmkansız! Tabi bence. Gödel bu tür önermelere
"karar-verilemez" (undecidable) demiş. Gödelin 4. teoremini biraz anlaşılır
bir Türkçeyle söylersek: "Sayılar kuramının öyle doğru önermeleri vardır ki
ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilirdir."
Sayılar kuramını da her sisteme eşbiçimli yaptığı için, her sistemde bu
kararverilemez önermelere rastlayacağız. O zaman bu önermeleri sisteme belit
olarak ekleyeceğiz. Ya düzünü ya tersini. Tarihsel örnekler: Seçme beliti,
Paralellik beliti, "Bu çümle yanlıştır"... Tabi sanmayın ki iş, bunları
belit olarak almakla bitiyor. Hayır, bunları belit olarak almış olduğunuz
sistemin de kararverilemez başka önermeleri olacak ve bu böylece sonsuza
gidecektir. Hatta belit şemaları için bile.. Konumuza dönersek, benim
iddiamın dayanağı budur. Bu önermelerin hepsinin tek bir ortak noktası
vardır: "Ben kanıtlanamam" demeleridir. Tabi bunu nasıl dediklerini merak
edebilirsiniz, matematiksel bir genel ifadesi var yani. Eğer goldbach sanısı
da "ben kanıtlanamam" diyorsa bunu kanıtlamak gerekecek. O zaman da
matematikçilerin bazıları bu sanıyı doğru bazıları yanlış ve hatta bazıları
kararsız ele alıp matematik yapabilecekler. Tabi bu iddiamı daha
kanıtlayamam. Umarım kanıtlarım. Bunu kanıtlamanın, sanının doğru ya da
yanlış olup olmadığını kanıtlamaktan daha zor olabileceğini kim söyleyebilir
ki?

11. "Eğer anlasaydık çözerdik! mi acaba :)" demişsiniz. "Anlasaydık da
çözemezdik" dediğimiz şeyler olduğunu anladığımız anda aslında çözmüş oluruz
değil mi? Çözülemeyeceğini anlamış oluruz.

12. discrete: ayrık, abstract: soyut demek.

13. Vektör, yani vector latincede taşımak anlamına gelen carrier sözcüğünden
türemiş. Taşıyıcı anlamına geliyor. Türkçesi yöney. Sezgisel olarak bir
yerden bir yere taşıyıcı. Yönlü doğru parçası bu tanıma uymaz heralde, daha
çok yönlü doğru parçalarının denklik kümesi uyar. Bakınız polinomlar da
uyar. P(x) için x te dönüşüm yapabildiğimiz için bunlarda sezgisel olarak
taşıyıcıdır. x i taşır gibi. Daha doğrusu hem x i hem de P(x) i taşır gibi.
Çok mu sezgisel oldu? Ama yine de tutarlı. Değil mi?
}

Çok uzun oldu :D

Saygı Sevgi ve Mantık...

--
Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanam."
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20051101/dfa731f8/attachment.htm