[MD-sorular] partisyon

[erkan karakaya]

Bulunabilir. Çözüm değerli hocalarımdan birine ait.

*Soru:* [0,1]'in öyle bir P partisyonu var mıdır ki

i)│P│ >│N │

ii)P'deki her X için,│X│>│N│

*Çözüm:* Vardır. Y(a)={(a,y): y elemanıdır [0,1]},

P'={Y(a): a elemanıdır [0,1]}

kümesi, i) ve ii) şartlarını sağlıyor; fakat sorun şu ki, P', [0,1]x[0,1]
kümesinin bir partisyonu; [0,1]'in değil.

 f: [0,1]x[0,1]'den [0,1]'ye

f [(0.a(1)a(2)a(3)…, 0.b(1)b(2)b(3)…)]=0.a(1)b(1)a(2)b(2)…

(1=0.999…alabiliriz)

 fonksiyonu, 1-1 ve örten olduğundan, │[0,1]x[0,1]│= │[0,1]│ sağlanır.
Dolayısıyla

P={f(Y(a)): a elemanıdır [0,1]}

kümesi [0,1]'in bir partisyonu olur ve istenen şartları sağlar.

(Burada f(A) ile, A kümesinin f altındaki görüntü kümesini gösteriyoruz.)


 2005/9/26, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
>
> A(x)'lerin içinde birbiriyle aynı kümelerin olabilmesi B'nin eleman
> sayısını düşürebilir de düşürmeyebilir de.
>
> B kümesinin sonsuz olması (hatta reel sayılarla eşit sonsuzluğa sahip
> olması) eşyanın tabiatı gereği. Eğer sonlu olsalardı ya da N kadar bir
> eleman sayıları olsaydı;
> A(x) kümeleri de N sayıda elemana sahiptir.
> n x N < N x N < R
> Dolayısıyla B kümesinin eleman sayısı N'den büyük olmalı.
>
> Ya da daha güzel bir yöntemle de ispatlayabiliriz:
> 1/n*kök(2) sayılarını gözönüne alalım. n bir doğal sayı
> Bu sayılarla alakalı A(x) kümeleri birbirinden ayrıktır ve bunlardan
> sonsuz tane var (burada sayılabilir sonsuzlukla yetindik ama aslında
> sayılamaz sonsuzlukta var)
>
>
> *Pekii hem küme sayısı hem de kümelerin eleman sayısı sayılamaz
> sonsuzlukta olan bir partisyon bulunabilir mi? *
>

*
> *
> 2005/9/26, erkan karakaya <hattusas388 at gmail.com>:
> > A(x) ile A(y)'nin ortak bir elemanı varsa A(x) ile A(y) aynı kümedir,
> > diyorsunuz. Bunun için verdiğiniz ispatta bir hata bulamadım, fakat şu
> var
> > ki, eğer A(x)'ler içinde birbirine eşit olan kümeler bulunabiliyorsa,
> bu,
> > A(x)'lerin oluşturduğu B kümesinin eleman sayısının sonlu olmasına neden
> > olamaz mı? Gerçi, belki de B kümesinin sonsuz elemanlı olduğunu başka
> bir
> > şekilde gösteriyorsunuzdur, soruya gönderdiğiniz ilk cevapta ve bunu
> fark
> > edememiÅŸ olabilirim. Bilgilendirirseniz sevinirim.
> >
> >
> >
> >
> >
> > 2005/9/25, E. Mehmet Kıral < luzumi at gmail.com>:
> > > A(0) ile A(1)'in ayrık olduğunu söylemedim zaten. Ortak bir elemanları
> > > var, doğru bu durumda bütün elemanları ortak.
> > > A(x) ile A(y)'nin ortak bir elemanı olduğunu düşünelim. Bu da z olsun.
>
> > > Yani z = x + q = y + r. Buradan da x = y + (q - r) çıkar. Burada q,r
> > > rasyonel sayılar olsun.
> > > Yani A(x)'in herhangi bir elemanı olan t = x + s için (ki burada s bir
> > > rasyonel sayı)
> > > t = y + q - r + s
> > > soldaki kısım bir rasyonel sayı, sonuçta t, A(y)'nin de elemanı. Yani
> > > A(x) ile A(y) aynı küme.
> > > A(0) ile A(1) aynı kümenin farklı gösterilişleri.
> > >
> > > Ayrıca bunun geçerli olamayacağına dair verdiğiniz örnekte sayılabilir
> > > sonsuzlukta küme var. Yani onları A_1, A_2, A_3... diye dizebiliyoruz.
> > > Bu durumda dediğiniz geçerlidir tabii, ancak A(x) kümelerini o şekilde
>
> > > dizemezsiniz.
> > >
> > >
> > > 2005/9/25, erkan karakaya < hattusas388 at gmail.com>:
> > > > Senin çözümde bir hata var. Bu A(x) lerin ikişer ikişer ayrık olduğu
>
> > savın
> > > > doğru değil. Örneğin A(0)=[0,1] ∩ Q ile A(1) kümelerini ele alalım.
> > > > 1/2 nin A(0)'da bulunduğu açık. Ayrıca q=-1/2 için a=1-1/2=1/2
> > elemanıdır
> > > > A(1). Demek ki A(0) ile A(1) ayrık değil.
> > > > Hatta herhangi bir t rasyonel sayısı için A(t) nin A(0) ın alt
> kümesi
> > olduÄŸu
> > > > da gösterilebilir.
> > > > Ayrıca, herhangi x ve y reel sayıları için,
> > > > i)x,y rasyonel
> > > > ii)x,y irrasyonel
> > > > ise A(x) ile A(y)'nin ayrık olduğu da gösterilebilir.
> > > > Ayrıca partisyon'u oluştururken x'lerin bazılarını rasyonel,
> bazılarını
> > > > irrasyonel seçsek de durum değişmez, zira bu durumda x'lerin en az
> ikisi
> > > > i) ve ii) durumlarından birine uyar.
> > > > Yani her durumda A(x)'lerin içinde ayrık olmayan iki farklı küme
> mutlaka
> > > > bulunuyor.
> > > > Benim kanaatimce soru'nun yanıtı olumsuz, buna dayanagım ekte...
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > 25.09.2005 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > > > A(x) = {a elemanıdır [0,1] : a = x + q ve q bir rasyonel sayı.}
> > > > >
> > > > >
> > > > > B kümesi de her x gerçel sayısı için A(x) kümelerinin kümesi
> olsun.
> > > > >
> > > > > Bu durumda B, [0,1] aralıığının bir parçalanışıdır:
> > > > > 1) x,y elemanıdır B olsunlar (x eşit değildir y)
> > > > > Bu durumda eğer x ile y'nin ortak bir elemanı olursa, bütün
> elemanları
> > > > > aynı olur. Yani B'nin elemanları ayrık kümelerdir.
> > > > > 2) B'nin birleşimi [0,1] aralığıdır çünkü en azından her x
> elemanıdır
> > > > > [0,1] için x elemanıdır A(x)
> > > > >
> > > > > Ayrıca B'nin her elemanının [0,1] aralığındaki rasyonel sayılar
> kadar
> > > > > elemanı vardır. Dolayısıyla B kümesi istenen her koşulu sağlar.
> > > > >
> > > > >
> > > > > 2005/9/25, erkan karakaya < hattusas388 at gmail.com>:
> > > > > > peki ÅŸuna ne dersin
> > > > > > "[0,1] kumesinin, kendisini olusturan alt kumelerin her biri
> sonsuz
> > > > elemanli
> > > > > > olan bir partisyonu var mıdır?" sorusunda, sözkonusu alt
> kumelerin
> > her
> > > > > > birinin buyuklugunu, dogal sayilar kumesinin buyuklugu ile
> > > > sınırlandirirsak
> > > > > > sorunun yaniti ne olur?
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > 25.09.2005 tarihinde erkan karakaya <hattusas388 at gmail.com>
> yazmış:
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Sanırım
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > A=[0,1/2) araligindaki rasyonaller ile [1/2,1] araligindaki
> > > > irrasyonaller
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > B=[0,1/2) araligindaki irrasyonaller ile [1/2,1] araligindaki
> > > > rasyonaller
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > kümeleri oluyorNe dersin
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > 25.09.2005 tarihinde E. Mehmet Kıral < luzumi at gmail.com >
> yazmış:
> > > > > > >
> > > > > > > > O değil de [0,1] aralığını her iki küme de [0,1] elemanı ile
>
> > aynı
> > > > > > > > büyüklüğe sahip olacak şekilde ve iki parça da aralarında
> yoÄŸun
> > > > olacak
> > > > > > > > şekilde iki parçaya ayırabilir misiniz.
> > > > > > > > Yani: A ve B iki küme olacak ve
> > > > > > > > 1) A U B = [0,1]
> > > > > > > > 2) |A| = |B| = | [0,1] |
> > > > > > > > 3) her x,y elemanıdır A için x ve y'nin arasında bir z
> > elemanıdır B
> > > > > > > > vardır. (x < z < y veya y < z < x)
> > > > > > > >
> > > > > > > > 2005/9/25, E. Mehmet Kıral < luzumi at gmail.com>:
> > > > > > > > > n=1'den başlayarak şu kümeler
> > > > > > > > > (1/(n+1),1/n] gerekli parçalanışı verir.
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > 2005/9/25, erkan karakaya < hattusas388 at gmail.com>:
> > > > > > > > > > [0,1] kumesinin, kendisini olusturan alt kumelerin her
> biri
> > > > sonsuz
> > > > > > elemanlı
> > > > > > > > > > olan bir partisyonu var mıdır?
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Soru'nun matematiksel ifadesi ekte...
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20050929/59d74375/attachment.htm