[MD-sorular] partisyon

[erkan karakaya]

Bulunabilir. Cozum degerli hocalarimdan birine ait.

 *Soru:* [0,1]'in oyle bir P partisyonu var midir ki

i)$B("(BP$B("(B >$B("(BN $B("(B

ii) P'deki her X icin,$B("(BX$B("(B>$B("(BN$B("(B

*Cozum:* Vardir. Y(a)={(a,y): y elemanidir [0,1]} ,

P'={Y(a): a elemanidir [0,1]}

kumesi, i) ve ii) sartlarini sagliyor; fakat sorun su ki, P', [0,1]x[0,1]
kumesinin bir partisyonu; [0,1]'in degil.

f: [0,1]x[0,1]'den [0,1]'ye

f [(0.a(1)a(2)a(3)$B!D(B, 0.b(1)b(2)b(3)$B!D(B)]=0.a(1)b(1)a(2)b(2)$B!D(B

(1=0.999$B!D(Balabiliriz)

 fonksiyonu, 1-1 ve orten oldugundan, $B("(B[0,1]x[0,1]$B("(B= $B("(B[0,1]$B("(B saglanir.
Dolayisiyla

P={f(Y(a)): a elemanidir [0,1]}

kumesi [0,1]'in bir partisyonu olur ve istenen sartlari saglar.

(Burada f(A) ile, A kumesinin f altindaki goruntu kumesini gosteriyoruz.)

  2005/9/26, E. Mehmet Kiral < luzumi at gmail.com>:

A(x)'lerin icinde birbiriyle ayni kumelerin olabilmesi B'nin eleman
sayisini dusurebilir de dusurmeyebilir de.

B kumesinin sonsuz olmasi (hatta reel sayilarla esit sonsuzluga sahip
olmasi) esyanin tabiati geregi. Eger sonlu olsalardi ya da N kadar bir
eleman sayilari olsaydi;
A(x) kumeleri de N sayida elemana sahiptir.
n x N < N x N < R
Dolayisiyla B kumesinin eleman sayisi N'den buyuk olmali.

Ya da daha guzel bir yontemle de ispatlayabiliriz:
1/n*kok(2) sayilarini gozonune alalim. n bir dogal sayi
Bu sayilarla alakali A(x) kumeleri birbirinden ayriktir ve bunlardan
sonsuz tane var (burada sayilabilir sonsuzlukla yetindik ama aslinda
sayilamaz sonsuzlukta var)


*Pekii hem kume sayisi hem de kumelerin eleman sayisi sayilamaz
sonsuzlukta olan bir partisyon bulunabilir mi? *

  *
*
2005/9/26, erkan karakaya < hattusas388 at gmail.com>:
> A(x) ile A(y)'nin ortak bir elemani varsa A(x) ile A(y) ayni kumedir,
> diyorsunuz. Bunun icin verdiginiz ispatta bir hata bulamadim, fakat su var

> ki, eger A(x)'ler icinde birbirine esit olan kumeler bulunabiliyorsa, bu,
> A(x)'lerin olusturdugu B kumesinin eleman sayisinin sonlu olmasina neden
> olamaz mi? Gerci, belki de B kumesinin sonsuz elemanli oldugunu baska bir
> sekilde gosteriyorsunuzdur, soruya gonderdiginiz ilk cevapta ve bunu fark
> edememis olabilirim. Bilgilendirirseniz sevinirim.
>
>
>
>
>
> 2005/9/25, E. Mehmet Kiral < luzumi at gmail.com>:
> > A(0) ile A(1)'in ayrik oldugunu soylemedim zaten. Ortak bir elemanlari
> > var, dogru bu durumda butun elemanlari ortak.
> > A(x) ile A(y)'nin ortak bir elemani oldugunu dusunelim. Bu da z olsun.
> > Yani z = x + q = y + r. Buradan da x = y + (q - r) cikar. Burada q,r
> > rasyonel sayilar olsun.
> > Yani A(x)'in herhangi bir elemani olan t = x + s icin (ki burada s bir
> > rasyonel sayi)
> > t = y + q - r + s
> > soldaki kisim bir rasyonel sayi, sonucta t, A(y)'nin de elemani. Yani
> > A(x) ile A(y) ayni kume.
> > A(0) ile A(1) ayni kumenin farkli gosterilisleri.
> >
> > Ayrica bunun gecerli olamayacagina dair verdiginiz ornekte sayilabilir
> > sonsuzlukta kume var. Yani onlari A_1, A_2, A_3... diye dizebiliyoruz.
> > Bu durumda dediginiz gecerlidir tabii, ancak A(x) kumelerini o sekilde
> > dizemezsiniz.
> >
> >
> > 2005/9/25, erkan karakaya < hattusas388 at gmail.com >:
> > > Senin cozumde bir hata var. Bu A(x) lerin ikiser ikiser ayrik oldugu
> savin
> > > dogru degil. Ornegin A(0)=[0,1] $B"A(B Q ile A(1) kumelerini ele alalim.
> > > 1/2 nin A(0)'da bulundugu acik. Ayrica q=-1/2 icin a=1-1/2=1/2
> elemanidir
> > > A(1). Demek ki A(0) ile A(1) ayrik degil.
> > > Hatta herhangi bir t rasyonel sayisi icin A(t) nin A(0) in alt kumesi
> oldugu
> > > da gosterilebilir.
> > > Ayrica, herhangi x ve y reel sayilari icin,
> > > i)x,y rasyonel
> > > ii)x,y irrasyonel
> > > ise A(x) ile A(y)'nin ayrik oldugu da gosterilebilir.
> > > Ayrica partisyon'u olustururken x'lerin bazilarini rasyonel,
bazilarini
> > > irrasyonel secsek de durum degismez, zira bu durumda x'lerin en az
ikisi
> > > i) ve ii) durumlarindan birine uyar.
> > > Yani her durumda A(x)'lerin icinde ayrik olmayan iki farkli kume
mutlaka
> > > bulunuyor.
> > > Benim kanaatimce soru'nun yaniti olumsuz, buna dayanagim ekte...
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > 25.09.2005 tarihinde E. Mehmet Kiral < luzumi at gmail.com> yazmis:
> > > > A(x) = {a elemanidir [0,1] : a = x + q ve q bir rasyonel sayi.}
> > > >
> > > >
> > > > B kumesi de her x gercel sayisi icin A(x) kumelerinin kumesi olsun.
> > > >
> > > > Bu durumda B, [0,1] araliiginin bir parcalanisidir:
> > > > 1) x,y elemanidir B olsunlar (x esit degildir y)
> > > > Bu durumda eger x ile y'nin ortak bir elemani olursa, butun
elemanlari
> > > > ayni olur. Yani B'nin elemanlari ayrik kumelerdir.
> > > > 2) B'nin birlesimi [0,1] araligidir cunku en azindan her x
elemanidir
> > > > [0,1] icin x elemanidir A(x)
> > > >
> > > > Ayrica B'nin her elemaninin [0,1] araligindaki rasyonel sayilar
kadar
> > > > elemani vardir. Dolayisiyla B kumesi istenen her kosulu saglar.
> > > >
> > > >
> > > > 2005/9/25, erkan karakaya < hattusas388 at gmail.com>:
> > > > > peki suna ne dersin
> > > > > "[0,1] kumesinin, kendisini olusturan alt kumelerin her biri
sonsuz
> > > elemanli
> > > > > olan bir partisyonu var midir?" sorusunda, sozkonusu alt kumelerin

> her
> > > > > birinin buyuklugunu, dogal sayilar kumesinin buyuklugu ile
> > > sinirlandirirsak
> > > > > sorunun yaniti ne olur?
> > > > >
> > > > >
> > > > > 25.09.2005 tarihinde erkan karakaya < hattusas388 at gmail.com>
yazmis:
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Sanirim
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > A=[0,1/2) araligindaki rasyonaller ile [1/2,1] araligindaki
> > > irrasyonaller
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > B=[0,1/2) araligindaki irrasyonaller ile [1/2,1] araligindaki
> > > rasyonaller
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > kumeleri oluyorNe dersin
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > 25.09.2005 tarihinde E. Mehmet Kiral < luzumi at gmail.com >
yazmis:
> > > > > >
> > > > > > > O degil de [0,1] araligini her iki kume de [0,1] elemani ile
> ayni
> > > > > > > buyukluge sahip olacak sekilde ve iki parca da aralarinda
yogun
> > > olacak
> > > > > > > sekilde iki parcaya ayirabilir misiniz.
> > > > > > > Yani: A ve B iki kume olacak ve
> > > > > > > 1) A U B = [0,1]
> > > > > > > 2) |A| = |B| = | [0,1] |
> > > > > > > 3) her x,y elemanidir A icin x ve y'nin arasinda bir z
> elemanidir B
> > > > > > > vardir. (x < z < y veya y < z < x)
> > > > > > >
> > > > > > > 2005/9/25, E. Mehmet Kiral < luzumi at gmail.com >:
> > > > > > > > n=1'den baslayarak su kumeler
> > > > > > > > (1/(n+1),1/n] gerekli parcalanisi verir.
> > > > > > > >
> > > > > > > > 2005/9/25, erkan karakaya < hattusas388 at gmail.com >:
> > > > > > > > > [0,1] kumesinin, kendisini olusturan alt kumelerin her
biri
> > > sonsuz
> > > > > elemanli
> > > > > > > > > olan bir partisyonu var midir?
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Soru'nun matematiksel ifadesi ekte...
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20050929/4b3b7efb/attachment.htm