RE: [MD-sorular] Başka iç çarpım var mıııı?

[ali nesin]

Ic carpimla ne kastettigini pek bilmiyorsun galiba ama ben anladim!

Bilinear, symmetric, nondegenerate form demek istiyorsun. Belki de positif
definite demek istiyorsun.

Tanimlar:
K bir cisim olsun.
V bir K-vektor uzayi olsun.
f : V x V ---> K bilinear bir fonksiyon olsun. Yani hem birinci koordinata
hem de ikinci koordinata gore lineer olsun. Bunlara "form" denir.
Eger f(v, w) = f(w, v) ise f'ye simetrik form denir.
(Bu durumda f(v, w) = 0 ise v ve w birbirine dik denir. Yani bir tur
geometri soz konusu.)
Eger "f(v, V) = 0 => v = 0" ozelligi saglaniyorsa, f'ye nondegenerate denir.


(Simetrik bir formu nondegenerate yapmak cok kolaydir. f: V x V ---> K
simetrik bir form olsun. W = {v in V : f(v, V) = 0} olsun. W, V'nin bir
altuzayidir. g : V/W x V/W ---> K, g(v + W, w + W) = f(v, w) olarak
tanimlansin. O zaman g iyi-tanimlidir ve ayrica bilinear, simmetrik ve
nondegenerate'tir. Not: V/W yerine W'nin V'de herhangi bir U complement'ini
de alabilirsiniz. O zaman nondegenerate formu bulmak icin f'yi U x U'ya
kisitlamak gerekir.)

f ve g iki (simetrik) form olsun (ayni V uzerine). Eger bir A vektor uzayi
izomorfizmasi icin g(v, w) = f(Av, Aw) ise f ve g birbirine denktir denir.
Bu, gercekten bir denklik iliskisidir.

Problem: Verilen bir K cismi ve n dogal sayisi icin, V = K^n vektor uzayi
uzerine simetrik ve nondegenerate formlari siniflandirin.

Bu problem K'ya ve n'ye gore degisir. Ve sanirim cismine gore kolay bir
problem olmayabilir. K = Q icin cozumu bilmiyorum. (Ama bilindigini
biliyorum.)

Cozumler: 1) Eger K sonlu bir cisimse, bir tane denklik sinifi vardir.

2) Eger K, karakteristigi 2 olmayan cebirsel kapali bir cisimse, bir tane
denklik sinifi vardir.

3) Eger K = R, gercel sayilarsa, tam n + 1 tane denklik sinifi vardir.
Bunlar soyle verilmislerdir:
F_i(v, w) = v_1w_1 + ... + v_iw_i - v_{i+1}w_{i+1} - ... - v_nw_n.

4) K = R olsun gene. Ve bu sefer f'nin her v in V = R^n icin f(v, v) > 0
esitsizligini sagladigini varsayalim. Bu durumda f'ye pozitif denir.
Yukardaki cozumden de anlasilacagi uzere pozitif simetrik nondegenerate
formlardan bir tane vardir: Bildigimiz Oklid formu, yani yukardaki
notasyonla f_n.

Eger gecen yil yazokulumuza gelseydin bu soruyu bugun sormazdin, hatta bu
formlarin otomarfizma gurubu olan O_n(K, f) gruplarini da bilirdin!

Ali



-----Original Message-----
From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of E. Mehmet
Kıral
Sent: Wednesday, April 19, 2006 11:57 PM
To: md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] Başka iç çarpım var mıııı?

R^n'de bildiğimiz iç çarpımdan farklı olarak nasıl bir iç çarpım
bulabiliriz?

Ama pozitif katsayılarla çarpmayı saymıyorum. Yani:
pozitif a1,a2,..., an katsayıları için (0 da olmayacaklar)
<x,y> = a1x1y1 + a2x2y2 + .....  + anxnyn
İç çarpımını "çok da farklı" bir iç çarpım olarak düşünmüyorum.


Bambaşka bir şey arıyorum yani.

--
sorunsuz gençlik