[MD-sorular] Küme Sohbetleri...

[Ali ilik]

Efendim, bir olaydan ilham alarak bir şiir yazmaya çalıştım. Olayı ve şiiri
paylaşıyorum.

Olay bir iki gün önce derste (soyut matematik II) geçiyor. Hocama bir soru
sordum ders esnasında:

-Hocam, boş küme kendisiyle eşgüçlü müdür?
-Evet.
-O zaman bu boş kümeden boş kümeye birebir ve örten en az bir fonksiyon
bulabileceğimiz anlamına gelir.
-Evet
-Peki boş kümeden boş kümeye birebir ve örten bir fonksiyonu nasıl
bulabiliriz?
-Boş kümeden boş kümeye kaç tane fonksiyon var?
-....(Elim ağzımda düşünüyorum)
-Geçen dönem (Soyut Matematik I dersini kastediyor hocam...) hatırlarsanız
fonksiyonlara girişte bir tanım vermiştik: boş fonksiyonu tanımlamıştık. Boş
kümeden boş kümeye birtane fonksiyon var, o da boş fonksiyon.
-Boş fonksiyon birebir ve örte midir? (Cevabın hocamın söylediklerine göre
evet olduğunu kestirebiliyorum ama buna şaşıyorum zira boş kümede hiç eleman
yokki! bırakın birebirliği ve örtenliği, nasıl bir fonskiyon olsun boş
kümeden kendisine diyorum. Tutturmuşum kendimce illa eleman, elle tutulut
elemanlar arıyorum! Önermeleri unutuyorum bir an!)
-Evet.
....

Ders bitiminde hocamın yanına gidiyorum, ve gidene kadar boş fonksiyonun
tanımına bakıyorum.

-Hocam boş fonksiyonun tanımına baktım. Boş fonksiyonun birebir ve örten
olduğunu olmayana ergi ile gösterebiliriz değil mi? Hani şu klasik "x ler
farklı iken y ler farklı ise f birebirdir" önermesi ile ya da ona denk olan
karşıt tersi "yler aynı iken xler aynı ise f birebirdir"...Birini kullanıp,
farzdelim ki yanlış olsun diyeceğiz (Assume not p :))) bu ifade çok hoşuma
gidiyor, Assume not p, then blah blah blah contradiction, then p..Enfes..).
Benzer şekilde örtenliği de, değer kümesindeki her elemana karşılık tanım
kümesinde bir (ve yalnız bir olmak zorunda aksi halde fonksiyon olmaz zaten)
eleman bulabiliyorsak (aslında burada varsa demem lazım zira var da
bulamassak bizim beceriksizliğimiz olur.) f örtendir. Bunları
sembollerle çok daha rahat yazardım uzatmadan ve çok severim ama elle
kaptırdım şimdi kusura bakmayın:)
-Evet, boş fonskiyonun birebir ve örten olduğunu göstermek için olmayana
ergiyi kullanacağız, başka çaremiz de yok gibi gözüküyor (varsa da aynı
kapıya çıkıyor sanırım, burada ayrı bir sorum var. Bugün okulda çimlerde
arkadaşla çok hoş bi matematik sohbeti yaptık, asal sayılara izomorf bi
kümeden bulabilirmiyizden girip (saçma olabilir, sorduk kendimize,
öğreniyoruz, tartışıyoruz...laflıyoruz..) tümevarımı golbah hipotezine nasıl
uyarlarızdan çıktık (4 iki asalın toplamı olarak yazılabilir, eğer n>2 olmak
üzere ve tabi n bir pozitif tamsayı olmak üzere 2n sayısı iki asalın toplamı
olarak yazılabildiğini kabul edelim, ondan bir sonraki çift sayı da yani
2n+2 sayısı da iki asalın toplamı olarak yazılabiliyorsa, 2 den büyük tüm
çift sayılar iki asalın toplamı olarak yazılabilir dedim(k). Buna nette ya
da bi kitapta rastlamadım bu yöntemi kendim düşündüm. Ama tabiki henüz
analiz, cebir ve matematiğin birçok alanlarında çok çok çok fırınlar dolusu
ekmek yememiz gerektiğinden golbah için bi kanıt metodu düşünsek de
kanıtlayamadık:) 2n iki asalın toplamıyken 2n+2 nin iki asalın toplamı
olduğunu nasıl göstereceğiz!? Soruya böyle yaklaştık. Bir başka yaklaşımımız
da acaba iki asalın toplamı olarak ifade edilemeyen bir çift sayı varsa bu
sayının özellikleri nelerdir!? Nasıl bir sayıdır. Eğer VARSA böyle bir sayı,
en azından o sayının bazı çok spesifik özelliklerini bulabilirsek, kanıtı da
yapmış oluruz. Bu arada yazımın bu bölümünü yazarken golbah ya da büyük bir
teoremi kanıtlamaya çalışma uğraşımızı anlatmaktan daha çok, o heyecanı
paylaşma arzumdan dolayı bunları yazdığımı ifade etmek isterim. Zira, Ali
Nesin Hoca'mız MD'nin bir sayısında, amatör birinin çok zor bir problemi
kanıtlamasının çok zor olduğunu belirtti. Zira işin uzmanları yıllardır
makale üstüne makale yayınlayacaklar ve birisi, bir vatandaş çıkıcak pat
diye çözülememiş bir soruya çözüm bulacak. Bu olabilir ama Ali Bey'in dediği
gibi zordur, düşük bir olasılıktır. Ama gel gelelim, bu umud, heyecan, arzu,
istek, hatta açıksözlülükle söylemek gerekirse az da olsa bireyin kendini
gösterme, kanıtlama içgüdüsü gibi birçok faktör var amatör, henüz öğrenci,
master öğrencisi, doktora öğrencisi gibi profesörlere nazaran kendini
geliştirme aşamasında olan kişilerde. Aslında geçtiğimiz yıllarda ABD' den
sanırım bir doktora öğrencisi, kümelerle ilgili bir teoremi ispatladı ya da
yeni bir teorem geliştirmişti. Hocası yıllardır o alanda çalışıyordu. Ve
hocasının göremediği birşeyi o görmüştü. Böyle örnekler var. Neyse efendim,
herzamanki gibi konuyu dağıttım ama konuyu dağıttığımın son derece
farkındayım ve bunu konuyu dağıtmaya başladığımdan beri biliyorum ama
üşengeçlik biraz özür diliyorum. Burası çok saygın bir site, yer ama biraz
da sıcak ve samimi bir ortam olduğu için yazılarımı düzenlememe
üşengeçliğimin genelde hoşgörüyle karşılanacağını umut ediyorum. Naçizane,
doğru ya da yanlış içindeki matematik aşkını ve heyecanını paylaşmak
isteyenler gibi yazıyıorum, belki sık yazıyorum rahatsız olunuyorsa
uyarılırsam, daha dikkat ederim yazdıklarıma, yazı formatıma.

Boş muhabbeti bırakalım ve boşalmış olan enerjimizi tekrar kazanıp boş
fonksiyonuma geri döelim. Bakınız, ağlıyor! Yalnız bıraktık onu. Hadi devam
edelim. Bi çay alıverin çay iyi gider değil mi? Bazıları çayı sevmezler ama.
O zaman o muhterem dostlar da ne içiyorlarsa onu alsınlar ve
bizim doğrusuyla yanlışıyla birşeyler anlatmaya, paylaşmaya çalışan ali ilik
arkadaşımızın yazısının sonlarını da bi okuyuverelim. Yazmış çocukçağız
yardım edelim şuna:) ehemm.. evet boş fonksiyon efendim..
şşşşş.....sessizlik...boş bir koridordayız, kimsecikler yok etrafta.. içinde
bulunduğumuzun koridorun boş bir koridor değil de boşkümenin kendisi
olduğunun farkına vardığımız anda pattt birebir bir fonksiyon çarpıyor
bizi...Evet uyandık....şimdi diriyiz...devam!....

Hocam, "evet boş fonksiyon birebir ve örtendir" demişti. Kanıtını sormuştum.
Olmayana ergi dedi. Evde yaptım (ya da yaptığımı zannediyorum). Kanıtım şu:
Farzedelim ki boş fonksiyon birebir ve örten olmasın. O zaman ya birebir
değildir ya da örten değildir [~(p ve q) denktir ~p veya ~q.] Birebir
değilse kendileri farklı iken görüntüleri farklı aynı olan en az iki eleman
vardır. Açıklama: Her x1,x2, (x1!=x2 => f(x1)!=f(x2)) denktir En az bir
x1,x2 ( x1=x2 ve f(x1)!=f(x2). Halbuki boş kümede (tanım kümesi olan
boşkümede) hiç bir eleman yoktur. (Bu kanıttan çok emin olmadığımı belirtmek
isterim, zira bu bir akıl verme değil, düşüncelerimi paylaşma yazısı,
yazımda yanlışlıklar olabileceğini kabul ediyorum elbette ve bu yanlışlıklar
varsa ve düzeltilirse iyi olur. ) Eğer örten değilse değer kümesinde görüntü
kümesine ait olmayan en az bir elman vardır. Halbuki değer kümesi de boş
kümedir ve boş kümenin elemanı yoktur. Yani boş fonksiyon birebir olmaması
veya örten olmaması kabulümüz bir çelişkidir. O halde boş fonksiyon hem
birebirdir hem de örtendir!


-Tanım: Bir A kümesinden B kümesine birebir ve örten en az bir fonksiyon
varsa, "A ile B eşgüçlü kümelerdir" denir. (Tersi de doğru, zaten aslında
çift gerektirmeli önermelere tanım gözüyle bakabiliriz!!)
-Her küme kendisiyle eşgüçlüdür (neden?).
-O halde, boş küme de kendisiyle eşgüçlüdür.
-O halde, boş kümeden boş kümeye birebir ve örten en az bir fonksiyon
vardır.
-Boş kümeden boş kümeye bir ve yalnız bir tane fonksiyon vardır (neden?) ve
bu fonksiyona boş fonksiyon denir.
-O halde boş fonksiyon birebir ve örtendir!!!

Not:  A ile B kümeleri eşgüçlü ise Eg[A,B] yazılır (başka notasyonlar da
kullanılabilir).  A ile B eşgüçlü kümeler iseler, A ile B Kümelerinin
kardinalleri aynıdır denir ve KardA= KardB yazılır. Kardinalite kavramı
eleman sayısı kavramından biraz daha geniş bir kavram.

Permütasyon: M den M ye birebir ve örten bir fonksiyona M kümesinin bir
permütasyonu denir. Permütasyon bir kümenin elemanınlarının altalta
yazılarak sıralanması gibi düşünebiliriz.

Birebir ve örtenlik, eşgüçlülük, kardinalite, denk kümeler, permütasyon
yakın hem de çok yakın kavramlar diyebiliriz.

 Burada şunu görüyoruz. Bernard Kolman ve David R. Hill'in Elemantary Linear
Algebra adlı kitaplarında vektörler ve vektör uzayı kavramlarına değinirken
yazdıklar harika yazılmış ve uzunca bir paragraflarında da belirttikleri
gibi, bir sıralı ikili (nli) bir vektör, ve bir matris adlında aynı şeyi
ifade ediyorlar fakat özellikle matrisler işlemlerde müthiş kolaylık
sağlıyorlar. Örneğin bir lineer denklem sistemini sürekli bilinmeyenlei
tekrar tekrar yazmaktansa katsayılar matrisiyle ifade edip (hatta sağ
taraftaki skalerleri de bölünmüş matrisin içine alark), Reduced row echelon
form'a (satırca indirgenmiş eşelon biçim) çevirerek kolayca bilinmeyenleri
bulabiliyoruz (çözüm varsa tabi, yani çözüm kümesi boş küme değilse, hatta
çözüm kümesinin boşküme olup olmadığını da bu yöntemle görebiliyoruz). Gauss
Eliminatin ve Gauss-Jordan Reduction yöntemleri ...yani bunları okuyunca,
görünce ve en önemlisi anlayınca insanın matematiği sememesi mümkün değil.
İşte verdiğim bu örenekte olduğu gibi, sanırım, birebir ve örtenlik,
eşgüçlülük, kardinalite, denk kümeler, permütasyon olaya farklı açılardan
yaklaşmamızı sağlıyor. Örneğim M den M ye birebir ve örten fonksiyon
sayısını bulmak istiyorsak (M dan N ye birebir , örten, birebir ve örten,
sabit fonskiyon sayılarının hesaplanışları gerçekten de çok şık N=M alarak
oradan yazarız sonucu aslında) ve bunu venn diyagramıyla görmemiz zorsa,
parantezlerle (....)  ifade edilen permütasyon kavramıyla belki daha rahat
görebiliriz. Ya da kümelerle daha rahat görürüz. İşte bu bize olayın özünü
biraz daha net kavratır, zira bir soruya farklı açılardan yaklaşıp aynı
çzöüme ulaşmak o sorunun özünün anlaşılıdğının, sanırım, en belirgin
göstergelerinden biridir. M den M ye birebir ve örten fonksiyon sayısı M in
farklı permütasyonlarının sayısına eşittir!

Yukarıdaki açıklamalarımda sonlu, sonsuz küme diye ayırmadım. Bir iki teknik
aksaklık, hata olabilir!



*Boş ama Güçlü*
**

Eşgüçlü iki küme
Biri boş,
diğeri ondan boş
Verdiler elele!

Eşit bunlar
hoş bunlar
kardinalleri aynı
sıfır eşittir sıfır
sıfır adamı yutar!

ilaç olurum iyi gelir,
birebir..
adım boş küme
boş fonksiyon geliyor
üstümü örtsene!

:)))

Şiiri daha güzel düşünmüştüm ama unuttum, bununla idare edin efendim.

Son not: Nette boş fonksiyon diye birşey görmedim duymadım, umarım öyle bir
fonksiyon vardır! Vardır da (ki yoksa hocam yanlış tanımladı demektir
bu...ki sanmıyorum) baştaki kabulu yanlış olan matematiksel sistemler
(yanlış sitem mi diyelim ne diyelim:)) gibi bu yazım da çökmez!

Bu yaza bu tarz hikaye, sohbet vs yazılar yazmada kendimi sınamak istiyorum
ve popüler bir matematik kitabı yazma gibi bir işe girmek istiyorum. Teknik
olarak yetersizim ama yazma anlamında sanki bende birşeyler var gibi
geliyor:)) Düşünen varsa beraber yazalım.. Dileyenler mail atsınlar
lütfen...

En içten saygı, sevgi dileklerimle
Ali İlik

www.antoloji.com/ali_ilik

"A writer is not so much someone who has something to say as he is someone
who has
found a process that will bring about new things he would not have thought
of if he had not
started to say them." William Stafford, A Way of Writing.


--
www.antoloji.com/ali_ilik

"A writer is not so much someone who has something to say as he is someone
who has
found a process that will bring about new things he would not have thought
of if he had not
started to say them." William Stafford, A Way of Writing.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060323/50c4b9c4/attachment.htm