[MD-sorular] sureksiz turevler

9 Kas 2006 Per 16:56:52 EET

Son zamanlarda düşündüğüm bir soruydu. Dün gece tekrar düşündüm birkaç saat
masa başında, kağıt kalemle uğraşarak, bazen krizler geçirerek. Bugün de
sınavımız vardı (Analiz III) ancak sınava çalışmak yerine bu soruyu
düşündüm. Sınav için gelmedik ya dünyaya...Gerçi günügününe çalıştığımdan
sınav için ekstra bir çalışma yapmadım. İyi de geçti. Neyse, geyiği
bırakalım ve soruya geçelim.

Bazı paylaşımlar yapacağım, sorulan sorunun özüne biraz olsun yanıt
olabileceğini düşünüyorum. Ancak özellikle sorunun geometrik yorumu (f'(a)
da süreksizse, f ve f' nün grafikleri arasındaki ilişki nedir?) konusunda
birşeyler var aklımda ama ifade etmem için erken, kafamdakileri derlemem
lazım. Biraz daha düşüneyim o kısmını. Bir bilen varsa yanıtlar ama siteye
üniversite öğretim üyelerinden daha çok katılım olsa iyi olur. Bu soru
sağlam bir soru mesela. Biri bunu hakkıyla yanıtlasa çok güzel olur.

Tam anlamıyla değil ancak bazı noktalara yanıt vermeye çalışacağım.

Bir kere ince bir soru. İncesi de şu: f, a E T_f (f'nin tanım kümesi) de
türevliyse f, a da süreklidir. Ancak bu demek değildir ki "f'(x) de a da
süreklidir."

f, a E T_f (f'nin tanım kümesi) de türevliyse f'(a) mevcuttur.

Eğer f'(x) a da tanımlı olmasına rağmen sürekli değilse,  lim (x->a) f(x)
mevcut değildir.

Çünkü, lim (x->a) f'(x) varsa f'(a) ya eşit olmak zorundadır.

f(x): { (x farklı sıfır için) (x^2) sin (1/x), (x=0 için) 0 }
fonksiyonunun, x=0 daki türevi sıfırdır. Hatta türev doğrusu x
eksenidir (http://math.colgate.edu/math323/dlantz/xsinxinv.gif
).

x farklı sıfır için türevi ise 2xsin(1/x)-cos(1/x) dir. Ancak lim (x->0)
cos(1/x) mevcut olmadığından (
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cos/visualizations/1.html
 veya http://mathworld.wolfram.com/Oscillation.html) f'(x), x=0 da sürekli
değildir.

Asıl soru şu: "Nasıl olur da 'teğetlerin eğiminin limiti' yokken eğimi olan
bir teğet olabilir?"

Olur, çünkü nasıl bir fonksiyonun bir noktadaki limiti, fonksiyonun o
noktada aldığı değere eşit olmak zorunda değilse, bir noktada türev
fonksiyonunun limiti de türevin o noktadaki değerine eşit olmak zorunda
değildir.

Peki, nasıl olur da bir fonksiyonun türev fonksiyonunun bir noktada limiti
olmadığı halde, türev fonsiyonu o noktada tanımlı olur?

Şöyle olur: bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin varlığı türev
fonksiyonunun o noktadaki limitiyle değil, türevinden bahsedilen fonksiyonun
karakteriyle alakalıdır.

Neyse, 10 dakika sonra dersim başlayacak toplarlıyorum:

http://clem.mscd.edu/~talmanl/PDFs/APCalculus/DiscontDeriv.pdf linkinde L.
A. Talman adında biri dayanamamış, patlamış ve

"The following example is the standard example of a function with a
discontinuous derivative, and none of the thoughts below are new or original
to me. However, questions about this example arise so frequently that I
present a complete discussion here. Let f be the function given by..." diye
girişmiş olaya, birşeyler hazırlamış. ancak yeterli değil yanıt için. Daha
da detaylı, sinsi bir şeyler var bu sorunun özünde.

Online olarak bazı grafikleri çizmek için şu kullanılabilir:
http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm

P.S: 2006-II ler elimize ulaştı (33 tane). Halledeceğiz. Derginin
birbirinden güzel olan sayıları arasında kıyaslama yapmak istemezdim ama bu
en güzeli! Olağanüstü olmuş. Manyak olmuş. Süper olmuş. Feci olmuş.
İnanılmaz. Akıl alır gibi değil! Nereden buldunuz o kadar vakiti, ya da
nasıl kullandınız vakit denen olguyu bir söyler misiniz? Önsözdeki resmi
görünce bir kahkaha patlattım, sevinç kahkahası olarak
adlandırılabilir. Evet öyle resimlere ihtiyacımız var. Özellikle kravatlı,
kumaş pantolonlu bürokrasi kokan vesikalık resimlerdense şöyle rahat ve
özgür resimler ne güzel!

 Ali

08.11.2006 tarihinde Emre UNAY <emreunay at hotmail.com > yazmış:
>
> Bir fonksiyon dusunelim. a noktasinda turevlenebiliyor. Ama turevi a
> noktasinda surekli degil. Boyle bir sey mumkun mudur. Tabi ki mumkundur
> (Google'da discontinuous derivative diye aratin. Milyonlarca sitenin
> f(x)=(x^2)(sin(1/x)) fonksiyonunu haykirdigini gorebilirsiniz. ) Peki bu
> tur
> fonksiyonlarin bir ozelligi var midir? Aradim bulamadim. Aslinda bir
> seyler
> buldum da, karnim doymadi.( fonksiyonun turevinin intermediate value
> teoremine uymasi gerekiyormus. Ya da fonksiyonun smooth (yuvarlak  hatlara
> sahip :)) olmasi gerekiyormus ki butun analitik fonksiyonlar smoothmus. )
> Neyse, bu garip(bana gore garip) fonksiyonlarin belli basli ozellikleri
> var
> midir?
> Not: Bir fonksiyonun differentiable oldugunu soylediler. Ben de turevinin
> surekli oldugunu kabul edip kullandim. Puanimi cok kirdilar. Uzuldum. Mail
>
> toplulugundaki ogrenci arkadaslar!!! Dikkat edin, turevlenebilmek, turevin
> surekli olmasi demek degildir. (ogrenci arkadas: Heh, biz bunu ilkokuldan
> beri biliriz.)
>
> _________________________________________________________________
> Hem e-postalarinizi, hem de Bilgisayarinizi MSN Güvenlik ile koruma altina
> alin! http://www.msn.com.tr/security/
>
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>

-- 
MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
The Universe Within:
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html

MIT OpenCourseWare: http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061109/1ceba6f5/attachment.htm 