Re: [MD-sorular] Tamlık

[E. Mehmet Kıral]

Hayır değildir,
Bunun da sebebi tam olarak homeomorfizmanın topolojik, tamlığın ise
metrik bir özellik oluşudur.
Yani bir homeomorfizm tanımlamak için X ve Y'nin metrik uzay olmaları
gerekmez, topolojik uzay olmaları yeterlidir.
Oysa tamlık, yani her Cauchy dizisinin yine uzay içerisinde bir
limitinin olması metrik bir özelliktir, çünkü Cauchy dizisi öyledir.
Nitekim eşdeğer iki metrikde (aynı topolojiyi, yani aynı açık kümeleri
veren iki metrikte) bir metriğe göre Cauchy olan bir dizi bir diğer
metriğe göre Cauchy olmayabilir. Bunun için tabii ki ilk metriğe göre
Cauchy olan dizimizin yakınsamaması gerekir, çünkü yakınsaklık sadece
açık kümeler cinsinden ifade edilebilir, yani topolojik bir
özellilktir. Aşağıda bu dediğimi kullanarak Y'nin tam olması
gerekmeyen bir örnek vereceğim.

X = Y = (0,1) olsunlar.
X üzerinde normal, bildiğimiz öklid metriği d(x,y) = |x-y| olsun.
Y üzerinde de d(x,y) = |1/x - 1/y| metriğini alalım.

x_n = 1/n dizisi (X,d) ile Cauchy bir dizidir, ancak limiti uzayın
içerisinde değildir. Dolayısıyla X tam bir metrik değildir.

Ancak Y tam bir metriktir, tek sorun yaratabilecek normal metrikte 0'a
yakınsayan diziler bir sorun değildir, çünkü 0'a doğru mesafeler
gittikçe açılmaktadır.

X ile Y arasında da homeomorfizma olarak id birim fonksiyonunu alalım.
Bu bir homeomorfizmadır, zira X'in açık kümeleriyle Y'nin açık
kümeleri birbirinin tıpatıp aynısıdır. (bu iki metrik denktir yani)

Dolayısıyla Y'nin tam olmadığı bir durum bulduk.

2006/11/13, Yildirim AKBAL <hamsiblues at gmail.com>:
> Merhaba Homemorfizm Altında tamlık korunurmu?
> x tam ve y ye homeomorf
> y de tammıdır ?
>
> sevgılr saygılar
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


-- 
How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
leaves 76 every time.  ~Author Unknown