Re: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir küme var mı?

19 Kas 2006 Paz 21:17:41 EET

"Kümemiz boş küme ya da E^n değilse sınır noktası olabilir mi?" soruma da
şöyle bir yanıt düşündüm.

Kümemizin adı A olsun ve hem boştan hem de E^n den farklı olsun.

A nın sınır noktası varsa, o noktanın her açık komşuluğunda (open ball), ya
A dan ya da A^c den eleman yoktur. Birbaşka deyişle, o noktanın her açık
komşuluğundaki tüm elemanlar ya A dan ya da A^c dendir.

(Tüm) elemanlar A dansa, A=E^n dir.

Yok eğer A^c ye aitse, o zaman A^c=E dir, yani A boş kümedir.

Oysa ki, A yı boşkümeden ve E^n den farklı kabul etmiştik. Çelişki.

Demek ki A nın sınır noktası yoksa, A ya boştur ya da E^ndir.

Ali

19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
>
> Evet boşkümeyi gözden kaçırmışım. Ama çözüm genel olarak aynı. Eğer
> E^n'nin altkümesi tüm E^n ya da boşküme değilse o zaman sınır
> noktaları vardır. (doğru parçası argumanı ile) dolayısıyla E^n'nin
> sınır noktaları olmayan sınırlı tek kümesi boşküme oluyor.
> Kümeden ve kümeden olmayan bir elemanımızın olması, kümenin sınır
> noktasına sahip olması için yeterli. (ve gerekli de tabii)
> Geri kalanını E^n için değil de genel metrik uzaylar için yazmıştım.
>
> 2006/11/19, Ali ilik <aliilik at gmail.com>:
> > Hocam espriyle karışık olarak algıladım, çok hoşuma gitti cümleniz:
> >
> >  "Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok
> sanssiz
> > bir gununde degilsen istedigine ulasirsin."
> >
> > Bir haftaya kadar tüm günlerim çok şanssızdı. Aldığım her sınırlı
> kümenin
> > sınır noktalarını kaldırsam da elde ettiğim küme yine sınır noktalarına
> > sahip oluyordu.
> >
> > Ancak 2 gündür biraz şanslıyım,  sınırlı bir küme olan boş kümeyi aldım
> ve
> > sınır noktalarını çıkardım (zaten yoktular) yine boş kümenin kendisini
> > buldum.
> >
> > Mehmet,
> >
> > E ^n sınırlı bir küme değil ama (yanılıyor muyum?). O halde aradığım
> gibi
> > bir küme olmuyor E^n, değil mi?
> >
> > Boş kümenin de sınır noktaları yoktur, çünkü olsaydı, en az bir tane var
> > olurdu. Diyelim bir a elemanı...Bu a nın her komşuluğunda hem boş
> kümeden
> > hem de E^n den eleman olmak zorunda olurdu. E^n den vardır ama boş
> kümeden
> > yoktur çünkü boş kümenin elemanı yoktur. Çelişki. O halde boş kümenin de
> > sınır noktası yoktur.
> >
> > Hem de boş küme sınırlıdır. Çünkü sınırlı olmasaydı normu, verilen her M
> > pozitif, reel sayısından büyük eşit olacak şekilde bir elemanı olurdu.
> > Halbuki boş kümenin elemanı yok ki. Çelişki. Demek ki boş küme sınırlı
> bir
> > kümedir. (r herhangi bir pozitif, reel seçilebilir.)
> >
> > Sonuç: boş küme, aradığım gibi, sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir
> > kümedir. (Yukarıdaki işlemlerde hata yoksa tabii)
> >
> > Soru: Boş kümeden başka böyle bir küme var mı (E^n için konuşuyoruz
> tabi)?
> >
> > Ali
> >
> >
> >
> > 19.11.2006 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > Bu yöntem sınır noktalarını içermeyen sınırlı bir küme verse de hiç
> > > sınırı olmayan bir küme vermesi zor gözüküyor.
> > > E^n'in herhangi bir altkümesi eğer tüm E^n değilse o zaman sınır
> > > noktaları mevcuttur. Kümede olan noktalardan biriyle, diyelim x,
> > > kümede olmayan bir nokta, diyelim y, arasına xt + y(1-t) doğru
> > > parçasını çizelim. Bu noktalardan bazıları kümenin içindedir, bazıları
> > > ise değildir. Kümeye dahil olmayan noktalara denk gelen t'lerin
> > > supremumu, bir sınır noktasına denk gelir.
> > > Demek ki kümemizin tüm E^n olmaması sınır noktası olması için
> yetiyormuş.
> > >
> > > Burada E^n'nin bir vektör uzayı olması özelliklerini kullandık. Çünkü
> > > sadece metrik uzay özellikleri bu söylenileni kanıtlamaya yeterli
> > > değildir.
> > > Ayrık metrik uzayı alırsanız eğer, orada herhangi bir kümenin sınır
> > > noktaları boşkümeyi oluşturur, ve üstelik herhangi bir küme de
> > > sınırlıdır.
> > >
> > > Daha az trışkadan (less trivial) bir örnek isterseniz eğer tekparça
> > > olmayan (not connected) herhangi bir metrik uzayın bir parçasını
> > > alabilirsiniz A diyelim, ve eğer o parça sınırlıysa o zaman hem A hem
> > > de A^c hem açık hem kapalı olacaklarından
> > > sınır(A) = kapanış(A) KESİŞİM kapanış(A^c) = A KESİŞİM A^c = BOŞKÜME
> > >
> > > Üstelik bir tüm metrik uzay olmayan bir kümenin sınır noktası olmaması
> > > için tam da bu gerekmektedir, uzayın tekparça olmaması ve kümenin bu
> > > parçalardan birisi olması.
> > >
> > > 2006/11/19, ali nesin <anesin at bilgi.edu.tr>:
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Sinirli herhangi bir kume al. Sinir noktalarini kaldir. Eger cok
> sanssiz
> > bir
> > > > gununde degilsen istedigine ulasirsin.
> > > >
> > > > Ali
> > > >
> > > >
> > > > ________________________________
> > > >
> > > >
> > > > From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> > > > [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On
> > Behalf
> > > > Of Ali ilik
> > > > Sent: Sunday, November 19, 2006 12:08 AM
> > > > To: matematik dünyası
> > > > Subject: [MD-sorular] E^n de sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir
> > küme
> > > > var mı?
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > E^n in sınırlı fakat sınır noktası olmayan bir altkümesini arıyorum.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Böyle bir küme bilen var mı?
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Ali
> > > > --
> > > > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > > > The Universe Within:
> > > >
> >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > > > MIT OpenCourseWare:
> > > >
> > http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
> > > > _______________________________________________
> > > > MD-sorular mailing list
> > > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> > >
> > > --
> > > How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> > > afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> > > leaves 76 every time.  ~Author Unknown
> > >
> >
> >
> >
> > --
> >
> > MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
> > The Universe Within:
> >
> http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
> > MIT OpenCourseWare:
> > http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
>
>
> --
> How many times can you subtract 7 from 83, and what is left
> afterwards?  You can subtract it as many times as you want, and it
> leaves 76 every time.  ~Author Unknown
>

-- 
MD-Bursa: http://mdbursa.googlepages.com/
The Universe Within:
http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html
MIT OpenCourseWare:
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Global/all-courses.htm#Mathematics
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20061119/0ce03198/attachment.htm 