[MD-sorular] e sayisi! Iki ornek

[Ali Riza Arican]

Merhaba,

Oncelikle bir ocneki iletimdeki ufak bir hatayi duzelteyim. En az bir
mektubun dogru adrese gitme olasiligi 1-(1/e) olacakti. Kusuruma
bakmayin... Ozur dilerim.


Ufak bir kac hesaplama ile sonuca siz de ulasabilirsiniz. Kaynak
olarak, elimdeki "Discrete Matematics and its Applications" adli
kitabi verebilirim. Kitabin 365. sayfasinda "Derangements" baslikli
bir konu isleniyor. "Derangement", aslina bakilirsa hicbir mektubun
dogru adrese gitmemesi durumu olarak ozetlenebilir. Ya da, elimizde
12345 gibi bir sayi dizisi dusunun. Bu diziyi oyle karistiracaksiniz
ki hicbir rakam eski yerinde kalmayacak. Mesela 21453 bir
"derangement" olabilir ama 43215 olamaz cunku 5 yerini korumus olur.

Yukardaki ornekle devam edersek "derangement" sayisi D5= 5! *
(1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-1/5!) olur. Bunun isbatini da kumeler kurami
yardimiyla yapabilirsiniz.

Bu durumda butun mektuplarin yanlis adrese gitme olasiligi D5 / 5!
olur cunku 5 elemanli bir kume 5! degisik sekilde siralanabilir.
Buradan da olasilik 1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-1/5! olur.

Bu ifade aslinda 1/e sayisinin elde edilis seklinin ilk 6 adimidir.
Eksileri arti yapar ve seriyi sonsuza kadar devam ettirirseniz e
sayisinin kendisini elde edersiniz.

Adim sayisi arttikca da sonuc 1/e'ye yaklasir. Yani mesela elinizde 20
mektup ve 20 adres varsa, rahatlikla goreceksiniz ki  en az bir
mektubun dogru adrese gitme olasiligi 1-(1/e) sayisina en az 5 basamak
dogru olacak sekilde yaklasmistir.

En az bir mektubun dogru adrese gitme olasiligi da bu yuzden 1-(1/e) olur.

Umarim yardimci olabilmisimdir...

Kalin saglicakla,

Not: Universitelerin kutuphanelerinde yer alan hemen her Olasilik
kitabi sanirim bu konuyu islemistir. Baska kitaplarda da benzer
sorular gormustum...

Saygilarimla,

Ali Riza



On 10/18/06, Ceyhun B. Akgül <cb.akgul at gmail.com> wrote:
> Merhaba,
>
> On 10/18/06, Ali Riza Arican <rizaarican at gmail.com> wrote:
> > Merhaba,
> >
> > e sayisinin Calculus disinda kullanimi oldukca yaygindir. Ozellikle
> > olasilik ve kombinasyonlarin soz konusu oldugu her yerde e'ye bir
> > sekilde rastlanilir. Iste size aklima bu sabah gelen iki ornek...
> >
> > 1. n sayida mektup ve yine n sayida adres olsun. Mektuplar ve adresler
> > rastgele secilerek bir eslestirilme yapilsin. Bu durumda en az bir
> > mektubun dogru adrese gitme olasiligi 1/e'dir. (Burada n'i ne kadar
> > buyuk alirsaniz sonuc 1/e'ye o kadar yaklasir. Mesela n=7 icin sanirim
> > 1/e'nin ilk uc basamagi elde edilebilir.)
>
> Bu bilgiyi hangi kaynaktan aldiginizi soyleyebilir misiniz?
>
> Tesekkur ederim.
>
> Ceyhun B. Akgul
>


-- 
          ALI RIZA ARICAN
H303, Hung Vuong 1, Ward Tan Phong
District 7, Ho Chi Minh City , VIETNAM
    http://rizaarican.blogspot.com
Tel (Mobile): +84902569574
Tel (Home) :  +8484100115