Re: [MD-sorular] Bu Tümce Yanlıştır

[OktayD]

Cümlenin matematiksel ifadesi:

Cümlenin adı P olsun:
P: "Bu cümle yanlıştır."
Cümle özgöndergeli (self-referenced) bir cümledir, yani kendinden
bahsediyor. Bunu daha netleştirip tekrar yazalım:
P: "P önermesi yanlıştır."
Burada biraz durup özgöndergeli olmayan bir cümleyel devam edelim.
A: "B önermesi yanlıştır."
Bu önerme muhtemelen başka bir önerme olan B önermesinden bahsediyor.
Bönermesi yanlışmış. Bildiğiniz üzere önermelerin doğruluk ve
yanlışlık
değerlerini belirten bir fonksiyon kullanabiliriz (bknz. herhangi bir soyut
matematik kitabı). Bu fonksiyon her önermeyi {0,1} kümesine gönderir. Ancak
biz işi sağlama alacağız ve bu fonksiyonun her önermeyi {0,1/2,1} kümesine
gönderdiğini söyleyeceğiz (1/2 değeri Gödel'in eksiklik teoreminde her
biçimzel sistemde bulunan G cümlesinin doğruluk değeridir. Hoffstadter bu
değere "karar-verilemez" der yani gavurcası undecidable). bu fonksiyonun adı
Doğ(Q) olsun.

Şimdi A önermesini tekrar yazalım:
A: "Doğ(B)=0"
Şimdi P ye geri dönelim:
P: "Doğ(P)=0"
Bu basit bir gösterim oldu. Gelin Gödel'in yöntemini uygulayalım.

Ali İlik için yanıtladığım bir iletimde Gödel numaralandırmasından
bahsetmiştim. Buna göre Gödel her önermeye bir sayı atamış. Her önermenin
bir Gödel sayısı vardır. Diyelim A nın gödel sayısını gA diye gösterelim.
Gödel bu tür önermeleri (örneğin G önermesi) göstermek için "ispat çifti"
denen kavramdan yararlandı. Bunu İÇ(gB,gA) diye gösterirsek, fonksiyonun
dediği şey, A önermesi B yi kanıtlar. Yani gB sayısına bazı çıkarım
kurallarına eşdeğer olan aritmetiksel işlemler yapıldığında gA sayısını elde
edebiliriz.

Hatta hazır gelmişken G önermesi matematiksel olarak şu şekilde (sezgisel
olarak) elde edilir
"Her gX için ~İÇ(gV,gX)"
Diyor ki hiçbir gX sayısı gV ile ispat çifti oluşturmaz. Burada V=G dersek
G: "Her gX için ~İÇ(gG,gX)"
(burada kullandığım ~ işareti değilleme işaretidir)
Bu önerme der ki hiçbir gX sayısı gG ile ispat çifti oluşturmaz (değildir
işareti = oluşturmaz). gG zaten kendi Gödel sayısı, o halde kendisi hiçbir
önermeyle ispat çifti oluşturmaz. Yani G kanıtlanamaz: G: "Ben kanıtlanamam
".

Biz P ye devam edelim. P diyor ki "P önermesi yanlıştır" yani "~P önermesi
doğrudur". Matematiksel olarak, g(~P) ile en az bir gX bir ispat çifti
oluştururlar. O halde
P: "En az bir gX için İÇ(g(~P), gX)"
İşte "Bu cümle yanlıştır" önermesini matematiksel olarak yazdık.

Saygı Sevgi ve Mantık...

On 9/5/06, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
>
> Merhaba,
> Bu tümce paradoksal bir tümce. İşin püf noktası bu tümcenin matematiksel
> olarak yazılamayacak olması mı? (Matematikte artık hiç bilinen paradoks
> olmadığından bir püf noktası arıyorum.) Yani sorun doğruluk yanlışlık
> kavramlarının matematiksel olarak ifade edilememesinden mi kaynaklanıyor.
> Örneğin kanıtlanabilirlik kavramı matematiksel olarak ifade edilebiliyor ve
> de dolayısıyla "Bu tümce kanıtlanamaz." tümcesi yazılabiliyor. Sonuç olarak
> doğru olan ama kanıtlanamayan tümcelere bir örnek oluşturuluyor. (Hatta 2005
> - 4 sayısında matematiksel olarak ifade edilmişti bu kavram.)
> Yazdıkça daha da emin oldum dediklerimden, ama yine de bir bilenden
> sorunun (daha doğrusu çözümün) *tam olarak* "yanlışlık" kavramının
> matematiksel olarak ifade edilememesinden kaynaklandığını (ya da başka bir
> yderden kaynaklandığını) duymak isterim.
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


-- 
Bir G tamdeyimi: "Ben kanıtlanamam."
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20060905/84248e44/attachment.htm