[MD-sorular] ip ve solucan

[Kerem Altun]

L uzunlugunda bir ipimiz olsun. Ip bastan "turdes" (uniform) olsun. Yani
secilen her iki nokta icin, arada kalan ip parcasinin yogunlugu sabit olsun.


Bunun uzerine bir koordinat sistemi yerlestirelim (ornegin x), soldaki ucunu
sabitleyip (x=0 olsun bu) sag ucundan cekmeye baslayalim. Diyelim uzunlugu
L' olana kadar uzattik. Bu durumda x=0 haric her noktanin yeri degisir. Ipin
uzerindeki bir x noktasinin yeni koordinati x' olsun.

Yogunluk degisti tabii. Ama turdeslik ozelligi devam edecekse, x'/x=L'/L
olmalidir. Soyle de diyebiliriz: ipin uzerindeki her x icin, uzama
miktarinin x'e orani bir sabittir. Bunu aklimizda tutalim.

Simdi soruya donelim. Ipi yine x=0 noktasindan sabitleyip diger ucundan
cekmeye baslayacagiz. Olay t=0 aninda baslasin. Yani hem ipi cekmeye
baslayacagiz, hem de solucan ipin sabit olmayan ucundan sabit ucuna dogru
harekete gececek. Ipi sabit hizla cekecegiz (1 km/s). Yani ipin uzunlugu u
ise, du/dt=1 km/s olacak. Bu durumda u(0)=1 oldugunu da dusunursek, u(t)=1+t
olur. Bu ayni zamanda herhangi bir t aninda ipin sag ucunun koordinatini da
verir.

Bu t aninda ipin herhangi bir x noktasini dusunelim. Dt kadar bir zaman daha
gecsin. Bu x noktasinin yeni koordinati x+Dx olur. Yani uzama miktari Dx
kadar. Ipin sag uc noktasinin koordinati da 1+t+Dt olur. Yani uzama miktari
Dt kadar. Yukaridaki esitlik saglanmali. Yani
Dt/(1+t)=Dx/x olmali. Simdi Dt --> 0 icin,

dx/dt=x/(1+t) oldu. Yani ipin uzerindeki bir x noktasinin t anindaki hizini
bulduk. Solucanimiz da yurumeye devam ediyor tabii. Onun bulundugu noktaya s
diyelim. Solucan tam s'nin uzerindeyken, hizi s/(1+t)-0.00001'dir. Ipin
uzerinde kaymiyorsa. Yani,

ds/dt=s/(1+t)-0.00001 olmali.

Bu denklemin nasil cozuldugunu buraya text olarak yazamam. Yaniti vereyim,
denkleme koyup deneyebilir isteyen.

s(t)=(1+t)(1-0.00001ln(1+t)) ifadesi bu denklemin s(0)=1 kosulunu saglayan
tek cozumudur.

Solucan ipin diger ucuna vardiginda s(t)=0 olmasi gerek. Bu da,
t=exp(100000)-1 olunca saglanir.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070426/7a9cd648/attachment.htm