[MD-sorular] ip ve solucan

[Ali İlik]

"ds/dt=s/(1+t)-0.00001 olmali.

Bu denklemin nasil cozuldugunu buraya text olarak yazamam. Yaniti vereyim,
denkleme koyup deneyebilir isteyen.

s(t)=(1+t)( 1-0.00001ln(1+t)) ifadesi bu denklemin s(0)=1 kosulunu saglayan
tek cozumudur."


Denklemin çözümü şu şekilde:

Denklem s'=s/(1+t)-10^-5 şeklinde yazılabilir.

Ya da s'-(1/(1+t))s=-10^-5

Bu 1.dereceden lineer bir diferensiyel denklemdir.

Bu denklemin bir integral çarpanı
lambda=e^Int(1/(1+t))dt=e^In(1/1+t))=(1/1+t) dir.

Genel çözümü ise, lambda*s=Int lambda*eşitliğin sağındaki fonksiyon dt den
bulunur.

Yani,
(1/1+t)s=- 10^(-5) Int (1/1+t) dt
           =- 10^(-5) log (1+x)+C   (log, elen anlamında, C de sabit)
         s=(1+t)(C-10^-5log(1+t))
Yani s(t)=(1+t)( C-0.00001ln(1+t)), s(0)=1 ise1=1.C yani C=1 dir. Yani
s(t)=(1+t)( 1-0.00001ln(1+t))

İhsan'ın sorduğu haliyle soru anlamsız.

"Ä°p ise her saniye sonunda bir lastik bant gibi gerilerek 1 kilometre uzuyor
(ilk saniye sonunda 2 km., ikinci saniye sonunda 3km. … uzunlukta oluyor)."

Bu uzama nasıl? Tanımı ne? İki uçtan da mı çekiliyor, öyleyse hangi
kuvvetlerle -bu kuvvetlerin zamana ya da varsa başka değişkenlere bağlı
fonksiyonları ne?- ya da kuvvvet olayına girilmeyecekse ipteki her noktanın
falanca saniye sonraki konumunu veren bir fonksiyon lazım.

Hadi uniform uzama var diyelim, yani yukarıdaki paragraf halloldu.

Ama ipin hangi ucu sabit? Sabit bir ucu var mı? Bu çok önemli. Bu
belirtilmemiş soruda. Uniform uzama var demek, uzamayı eksik tanımlar.
Sadece oran orantıyı söyler Kerem'in bahsettiği gibi.

Hatta...

"Ä°p ise her saniye sonunda..."

"Her" denildiği için saniyeler sayılabilirdir denmek isteniyor. R sayılamaz.
O yüzden Kerem çözdüyse başka bir soruyu çözdü...

"Simdi soruya donelim. Ipi yine x=0 noktasindan sabitleyip diger ucundan
cekmeye baslayacagiz"

Çekmeye başlarız da başladığımız gibi bitirmek zorundayız çekmeyi. Daha
doğrusu zorunda mıyız? Bu da verilmiyor aslında. Yani, ipin uzaması
esnasında zaman durduruluyor mu? Hem her canımız istediğimiz zaman
çekemeyiz. Soru ne diyor?

" Ä°p ise her saniye SONUNDA"

Yani, her saniyenin dolmasını beklemek zorundayız soruya göre.

 Ali Nesin demiÅŸ ki: "Bir de zamani surekli almalisin herhalde. "

Hayır. Aksine zamanı süreksiz almalıyız, soru öyle çünkü. Her
saniye...Sonunda... vurguları var.
Kerem'in son gönderdiği çözümü inceledim. 2 kez okudum hata göremedim. O
haliyle daha şık bir soru oluyor. Ama soruyu soran da anlatsaymış iyice.
Çünkü yani, tamam bazı sorular çok açık olur; detaylardan bahsedilmese de
okuyucu bilir. Ama burada öyle değil. Farklı alınca farklı çıkıyor.

"x(n)=0.00001(n-1)" bunu anlamadım. Neye göre yazdın ki bunu? Uzama düzgün
olsa bile, hangi nokta sabit tutuluyor?

İlla uçlardan biri değil, aradan bir nokta da sabit tutulabilir. Solucan
geriye bile gidebilir yani...

Ä°p ÅŸu olsun: A=0_________B

A sabit tutulup, her saniyenin sonunda B'nin sağ tarafından zıuup diye 1km
çekilsin. Ama bu ekleme işlemi hemen olsun ve bitsin...

A hariç, her noktanın yeri değişecek.

a_i, solucanın i. saniye sonunda bulunduğu nokta olsun.

Solucan A'dan harekete başlasın...

Önce sağa doğru 1cm gider. O anda ip uzatma işçileri gelir, hemen solucanı
kucaklayıp, 2 nin üstüne oturturlar. Solucan 1.saniyenin sonunda A'dan 2cm
uzaktadır:

a_1=2

Benzer mantıkla,

a_2=(a_1+1)3/2=9/2
...
an=((a_(n-1))+1)(n+1)/(n-1) (n-1 indisli a sayısının 1 fazlasının (n+1) bölü
(n-1) katı)

Buradan da tam sayı olamama çelişkisi olacağını seziyorum.

Onu da başkası ele alır herhalde. Boynum tutuldu.

Ali


1 kilometre uzunluÄŸunda bir ip ve ipin bir ucunda bir solucan var. Solucan
ip uzerinde saniyede 1 cm.lik sabit hizla obur uca dogru ilerliyor. Ä°p ise
her saniye sonunda bir lastik bant gibi gerilerek 1 kilometre uzuyor (ilk
saniye sonunda 2 km., ikinci saniye sonunda 3km. … uzunlukta oluyor). Bu
durumda solucan (omru yeterse!) ipin obur ucuna varabilir mi?

26.04.2007 tarihinde Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com > yazmış:
>
> L uzunlugunda bir ipimiz olsun. Ip bastan "turdes" (uniform) olsun. Yani
> secilen her iki nokta icin, arada kalan ip parcasinin yogunlugu sabit olsun.
>
>
> Bunun uzerine bir koordinat sistemi yerlestirelim (ornegin x), soldaki
> ucunu sabitleyip (x=0 olsun bu) sag ucundan cekmeye baslayalim. Diyelim
> uzunlugu L' olana kadar uzattik. Bu durumda x=0 haric her noktanin yeri
> degisir. Ipin uzerindeki bir x noktasinin yeni koordinati x' olsun.
>
> Yogunluk degisti tabii. Ama turdeslik ozelligi devam edecekse, x'/x=L'/L
> olmalidir. Soyle de diyebiliriz: ipin uzerindeki her x icin, uzama
> miktarinin x'e orani bir sabittir. Bunu aklimizda tutalim.
>
> Simdi soruya donelim. Ipi yine x=0 noktasindan sabitleyip diger ucundan
> cekmeye baslayacagiz. Olay t=0 aninda baslasin. Yani hem ipi cekmeye
> baslayacagiz, hem de solucan ipin sabit olmayan ucundan sabit ucuna dogru
> harekete gececek. Ipi sabit hizla cekecegiz (1 km/s). Yani ipin uzunlugu u
> ise, du/dt=1 km/s olacak. Bu durumda u(0)=1 oldugunu da dusunursek, u(t)=1+t
> olur. Bu ayni zamanda herhangi bir t aninda ipin sag ucunun koordinatini da
> verir.
>
> Bu t aninda ipin herhangi bir x noktasini dusunelim. Dt kadar bir zaman
> daha gecsin. Bu x noktasinin yeni koordinati x+Dx olur. Yani uzama miktari
> Dx kadar. Ipin sag uc noktasinin koordinati da 1+t+Dt olur. Yani uzama
> miktari Dt kadar. Yukaridaki esitlik saglanmali. Yani
> Dt/(1+t)=Dx/x olmali. Simdi Dt --> 0 icin,
>
> dx/dt=x/(1+t) oldu. Yani ipin uzerindeki bir x noktasinin t anindaki
> hizini bulduk. Solucanimiz da yurumeye devam ediyor tabii. Onun bulundugu
> noktaya s diyelim. Solucan tam s'nin uzerindeyken, hizi s/(1+t)- 0.00001'dir.
> Ipin uzerinde kaymiyorsa. Yani,
>
> ds/dt=s/(1+t)-0.00001 olmali.
>
> Bu denklemin nasil cozuldugunu buraya text olarak yazamam. Yaniti vereyim,
> denkleme koyup deneyebilir isteyen.
>
> s(t)=(1+t)( 1-0.00001ln(1+t)) ifadesi bu denklemin s(0)=1 kosulunu
> saglayan tek cozumudur.
>
> Solucan ipin diger ucuna vardiginda s(t)=0 olmasi gerek. Bu da,
> t=exp(100000)-1 olunca saglanir.
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070426/cd094572/attachment.htm