[MD-sorular] topoloji(homomorfizm)

[Ali ilik]

Biraz uzun yazdım. Topolojiyi yeni öğreniyorum.

Soruyu soran arkadaşın topoloji bilgisini bilmiyorum. Yazdıklarımın çoğunu
bilebilir.

Soru vesilesiyle, listedeki topolojiye meraklı ve benim gibi yeni
arkadaşların ilgisini çekebilir bahsedeceklerim diye düşündüm.

Hatalar varsa, lütfen yazınız.


(x-a)/(b-a) yı elde ediş yöntemlerinden biri şudur:

[a, b] aralığının uç noktalarını, sırasıyla [0, 1] aralığının uç noktalarına
eşleyelim.

Yani f: [a, b]->[0, 1] olarak tasarlayacağımız f nin a da ve b de aldığı
değerler sırasıyla 0 ve 1 olsun.

Geriye (a, b) kümesi kaldı.

şimdi (a, b) aralığının orta noktasını (0, 1) in - ya da [0, 1] in...aynı
şey..- orta noktasına eşleyelim.

Yani, f ( (b-a)/2 ) = 1/2 olsun. Aynı zamanda [a, b] yi de ikiye bölmüş
olduk.

Şimdi aynı işlemi, elimizdeki bu parçalara da yapalım. Yani, onların da orta
noktalarını  [0, 1] den elde ettiğimiz iki parçaya atayalım.

Bu şekilde giderek her noktaya bir ve yalnız bir nokta eşleyebiliriz.

Ve aslında, x E [a, b] yi [0, 1] de öyle bir yere nişanlıyoruz ki Thales
Teoremi gerçekleniyor. Yani,

(x-a)/(b-a)=(f(x)-0)/(1-0) oluyor. Segmentlerin ratiolarını koruyoruz yani.
Hem de collinearity korunuyor. (Affin Dönüşüm)

Ve buradan f(x)= (x-a)/(b-a) buluyoruz.

Bunu [a, b] -> [c, d] ye (g(x)-c)/(d-c)=(x-a)/(b-a) olarak da
genelleştirebiliriz. Buradan g(x) çekilebilir.

MD 2006-III, sf. 36 da gerçel sayılarla aralıkların eşlenik oldukları
gösterilmişti.

http://matematikdunyasi.org/arsiv/tum_dizin.html linkinden CTRL+F e basıp
"aralık" yazınca direkt o yazının başlığı çıkıyor.


Topolojide en temel problemlerden biri, iki uzayın ne zaman homeomorfik
olacağına karar vermektir.

Burada da topolojik invaryantlar, yani topolojik özellikler, uzayların
homeomorfik olmadıklarını göstermek için- iyi bir araçtır.

Homeomorfizmin koruduğu özelliklerden herhangi biri paylaşılmıyorsa, direkt
olarak homeomorfik değillerdir denebilir rahatça.

O zaman da homeomorfizm neleri korur sorusu gündeme geliyor.

Kompaktlığı, bağlantılılığı (simply), açıkları açıklara götürmeyi,
sürekliliği vs vs.. daha bir çok şeyi korur homeomorfizm.

Korumak demek şu: Mesela, iki uzay homeomorfikse ya ikisi de bağlantılıdır
ya da ikisi de bağlantısızdır.

Eğer biri bağlantılı diğeri bağlantısızsa, homeomorfik olamazlar.

Bu şöyle işe yarar:

mesela, R^2 den bir nokta çıkarırsak elimizdeki uzay hala bağlantılıdır.

Ancak R den bir nokta çıkarırsak, elimizdeki uzay bağlantısız olur.

Çıkardığımız noktaları birbirine eşleseydik bile, elimizde bağlantılılık
karakterleri farklı iki uzay olacağından,

doğru ile düzlem homeomorfik değildirler (alışılmış topolojiyle!).

Çıkarılan nokta bağlantılılığı bozuyorsa buna cut point denir (Türkçesini
bilmiyorum.)

Mesela, tüm açık aralıkların eşgüçlü olduğu 1-1 ve örten bir fonksiyon
bulunup, kanıtlandıktan sonra,

 farklı tip aralıkların homeomorfik olamayacağı buradan çıkar.

Zira, R de kapalı, yarı-açık, ve açık aralıklar (hepsi sınırlı olmak
kaydıyla) sırasıyla 2, 1 ve 0 cut point e sahiptirler.

O yüzden farklı homeomorfizm sınıflarına aittirler.

(sınırsız tüm aralıklar en fazla bir tane uncut point e sahiptirler.)

Mesela [0, 3] den 0 ve 3 ü çıkarsak, küme hala bağlantılıdır. Cut point
sayısı 2.

(-sonsuz, 7) veya (-sonsuz, 7] aralıklarında 7 hariç tüm noktalar cut
point'tir. 7 uncut point'tir.

Yani çıkarılırsa "bağlamanın melodisi" değişmez :)

Homeomorfizm boyutu da korur!

Yani, R^n ile R^m ancak ve ancak n=m ise homeomorfiktirler. (Brouwer's
Dimension Invariance Theorem)

Topolojinin "cisimlerin eğilip büküldüğünde değişmeyen özelliklerini
inceleyen bilim dalı"

olarak verilen klişe sözlük tanımı da homeomorfizmin birşeyleri korumasından
geliyor.

Korumak demek, "birşey" bir uzayda "nasılsa" öbür uzayda da "öyle" olacak.

İşte o değişmeyen şeyler topolojik invaryantlar.

Ana soruya geri dönersek,

[a, b] yi bir lastik gibi düşünelim. Bunu esneterek tamıtamına [0, 1] in
üzerinde oturtabiliriz.

Ama, mesela [3, 8) i [1, 17] nin üzerine oturtamayız. Sorun 17 nin büyük
olmasından değil, aralık tiplerinin farklılığından kaynaklanıyor.

En fazla 3 ü 1 e, 8 i 17 nin üzerine ve aradakileri de affin dönüşümle
oturturuz. 17 ye ne oldu? Açıkta kaldı.

Güm! Olmadı! İstediğimiz kadar eğelim çekelim, oturtamayız. Homeomorfik
değil de ondan.

Ya da homeomorfik değil, çünkü oturtamayız da ondan!

Ama [a, b] yi [c, d] nin üzerine yerleştiririz. ( a<b ve c<d )

Aralıkların lastikten yapıldığını düşünelim.

Her iki yana da istediğimiz kadar esneyebilen bir lastikten...

Eşitse aralık boyları sorun yok.

Değilse, hangisi fazlaysa onu büzeriz, ya da diğerini gereriz ikisi
de üstüste gelinceye kadar.

Ali

"Q: What's purple and commutes?
A: An Abelian grape.

Q: What is lavender and commutes?
A: An Abelian semigrape."

By Renteln and Dundes (2005).


26.02.2007 tarihinde mete ulusal <mete.ulusal at gmail.com> yazmış:
>
> R, Reel sayilarinda [a,b] kapali araligi [0,1] e homomorfizm dir. Nasil
> gosterilecek
>  ve a=b iken bu dogru mudur?
>
> _______________________________________________
> MD-sorular mailing list
> MD-sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>


-- 
Ali

"Q: What's purple and commutes?
A: An Abelian grape.

Q: What is lavender and commutes?
A: An Abelian semigrape."

By Renteln and Dundes (2005).
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070227/d113b1a4/attachment.htm