[MD-sorular] <X,Y> ve R[X, Y]

[E. Mehmet Kıral]

> " Denklemlerde iki tarafın da derecelerini karşılaştırdığımız zaman deg
> f = 1, 0  buluyoruz."
>
> Emin miisn? R bir domain olmayabilir...
> Ali

Doğru olmayabilir. Bunu düzeltmek için aynı notasyonla devam ediyorum.

qf'yi (R[X])[Y]'nin bir elemanı olarak görelim. O zaman Y = qf =
r(X)Y. Şimdi Y yerine 1 koyuyoruz ve r(X) = q(X,1)f(X,1) = 1 elde
ediyoruz. Bu da f(X,1)'in sabit katsayısının tersinir (ve geri kalan
katsayılarının ise nilpotent) olduğunu söylüyor.
f(X,Y)'nin sabit katsayısı 0 olmak zorunda (çünkü f € I) dolayısıyla
f'de Y'nin katsayısı tersinir.
Aynı şekilde X'in katsayısı da öyle. Demek ki f(X,Y) = s(X,Y) + aX +
bY. a,b € R*.
p(X,Y) = t(X,Y) + c olmak zorunda ve c sıfır değil. Ayrıca t sabit
terimi olmayan ve s de sabit ve 1. dereceden terimleri olmayan
polinomları.

X = pf = ts + cs + t(aX + bY) + caX + cbY.
Bu toplamdaki son iki terim hariç gerisi derece hesabından 0 oluyor.
Son iki terim ise bize geçen seferki durumu veriyor. Üstelik a ve
c'nin tersinir olduklarını biliyoruz.
Dolayısıyla hem ca = 1 hem de cb = 0 eşitlikleri mümkün değil.

Yani <X, Y> değişmeli bir R için R[X,Y] halkasında bir principal ideal değil.

Nedense kolay bir soruya gereğinden fazla meşakkatli bir cevap
bulmuşum gibi geliyor.


> -----Original Message-----
> From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of E. Mehmet Kıral
> Sent: Monday, May 21, 2007 12:08 AM
> To: barýþ uðurcan
> Cc: md
> Subject: Re: [MD-sorular] <X,Y> ve R[X, Y]
>
> Çok teşekkür ederim. Biraz araları doldurmak gerekiyor ama sanırsam.
> Örneğin c/d yazamayız, c'yi d'ye bölebileceğimizi bilmiyoruz.
> Dediğiniz gibi <f> = I olsun. pf = X ve qf = Y var elimizde o zaman.
> (Bunu böyle yazabilmemizin sebebi de R'nin ve dolayısıyla R[X, Y]'nin
> 1'li ve değişmeli olması; yoksa <f> = Rf + fR + Zf yazmamız gerekirdi,
> Z doğal sayılar.)
>
> Denklemlerde iki tarafın da derecelerini karşılaştırdığımız zaman deg
> f = 1, 0  buluyoruz.
> Eğer deg f = 0 olsaydı o zaman <X,Y> ideali <f>'ye eşit olamazdı.
> Çünkü X ve Y ile gerilen idealin herhangi bir elemanının derecesi
> 1'den büyük olmak zorunda, bu da f'nin <X,Y> de olmasını engelliyor.
> Demek ki deg f = 1.
> Bu da p ve q aslında sabit demek oluyor. Ayrıca f(X, Y) = aX + bY
> Dolayısıyla paX + pbY = X ve qaX + qbY = Y oluyor.
> Yani pa = 1 ve pb = 0 imiş.
> Demek ki p'nin bir sağ tersi var. O zaman sol tersi de var
> (değişmeliliği yine kullandık) Demek ki 0 olmayan hiçbir b için pb = 0
> olamaz. Zira 0 = a0 = apb = 1b = b.
> O zaman ise ikinci denklemde qaX = Y elde ediyoruz ki bu imkansız.
>
>
> Peki varsayımları azaltma imkanımız var mıdır? Bariz bir şekilde R'yi
> 1'li halka almak zorundayız (yoksa X € R[X,Y] yazamayız) ancak
> değişmeli almasak olur mu?
> Ya da şöyle de sorabilirim. Öyle bir R halkası var mıdır ki içinde a,
> b, p ve q elemanları olsun ve şu eşitlikleri sağlasınlar.
> pa = 1,  pb = 0
> qa = 0,  qb = 1
>
>
> 2007/5/20, barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>:
> > idealimiz I=(x)+(y) olsun.  eger bu principalsa  I=(f(x,y))  olur ama x
> > elemani I ve y elemani I o  zaman  x=cf(x,y)  y=df(x,y) c ve d sabit olmak
> > uzere. celiski cunku x/y=c/d ama x ve y bagimsiz degisken. [Basic Abstract
> > Algebra, Bhattacharya-negpaul-jain, page 217]
> >
> > saygilar,
> >
> > baris
> >
> >
> > "E. Mehmet Kıral" <luzumi at gmail.com> wrote:
> > R değişmeli ve 1'li bir halka olsun. O zaman R[X, Y]'deki I =
> > ideali tek bir polinom tarafından gerilemez.
> > Soru bu, (gösterin diyor).
> >
> > Ne soruyu çözebildim ne de R'nin değişmeli ve 1'li olmasının konuyla
> > alakasını çıkarabildim. (Bu çıkaramayış soruyu çözememiş olmamdan
> > ileri geliyor olabilir, hatta oldukça olasıdır.)
> >
> >
> > --
> > I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> > Plato.
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing list
> > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
> >
> > ________________________________
> > Looking for a deal? Find great prices on flights and hotels with Yahoo!
> > FareChase.
> >
> >
> > _______________________________________________
> > MD-sorular mailing list
> > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> >
> >
>
>
> --
> I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> Plato.
>
>


-- 
I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
Plato.