[MD-sorular] Re: SO3 ve ornekleme

[Kerem Altun]

Bir de bir soru: S3 ile SO3 homeomorf mudur?

Kerem


On 5/27/07, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> wrote:
>
> Bu konuda bir konferans bildirisi buldum, belki birilerinin ilgisini
> cekmistir konu, buraya da yazayim. Basit bir yolu varmis, arccos fonksiyonu
> kullaniliyormus. Ama kaniti yok bu bildiride.
>
> J. J. Kuffner, "Effective sampling and distance metrics for 3D rigid body
> path planning," Proc. of IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, 2004,
> pp. 3974--3980
>
>
> Kerem
>
>
> On 5/26/07, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> wrote:
> >
> > Uniform sampling derken kastettigim su:
> >
> > S2 kuresi icin ornek vereyim. Kurenin uzerindeki noktalari enlem ve
> > boylamlariyla gosterebiliriz. Kurenin merkezine koordinat sistemini
> > yerlestirdik diyelim, enlemler [-pi/2,pi/2] araliginda, boylamlar [0,2pi]
> > araliginda deger aliyor. Yani [-pi/2,pi/2]x[0,2pi] kumesinin bir elemani,
> > kure uzerinde bir noktaya karsilik gelir.
> >
> > Simdi bu kumeden uniform dagilimdan 5000 tane rastgele nokta secelim,
> > karsilik gelen noktalari kure uzerinde isaretleyelim. Ondan sonra ben bu
> > isaretli kureyi alip evirip cevirip disaridan incelesem, bu kurenin
> > kutuplarinin (kutup derken, enlemi -pi/2 ve pi/2 olan noktalar yani) nerede
> > oldugunu anlarim, cunku noktalar orada yogunlasmis olur. Yani en azindan
> > bana oyle olacakmis gibi geliyor.
> >
> > Iste oyle bir yontem (ya da dagilim) bulmak istiyorum ki, kure uzerinde
> > bu rastgele 5000 noktayi isaretledikten sonra kureyi alip bakinca kutuplarin
> > neresi oldugunu anlamayayim. Yani noktalar kurenin uzerinde uniform dagilmis
> > olsun.
> >
> > Tabi S2'yi ornek olsun diye soyledim, bu isi SO3 icin yapmak istiyorum.
> >
> > Kerem
> >
> >
> >
> > On 5/25/07, ali nesin < anesin at bilgi.edu.tr> wrote:
> > >
> > >  Evet, soyledigin gruba SO_3 denir.
> > >
> > > Uniform sampling nedir bilmiyorum ama SO_3'un grup yapisini bilirsen
> > > sanirim her sey daha acik olacak. O acilarla calisma bence.
> > >
> > > SO_3 grubu, R/Z daha dogrusu R/2piZ gruplarinin ayrik bilesimidir.
> > > Ornegin A = {g in SO_3 : g neq 1 ve g^3 = 1} olsun. g in A icin,
> > >
> > > C_g = {h in SO_3: hg = gh} = cebntralizer of g in SO_3
> > >
> > > olsun. C_g'nin ne oldugunu anlatmaya calisayim.
> > >
> > > g'nin sabit biraktigi bir eksen vardir, donduru ekseni; g donusumu
> > > noktalari bu eksen etrafinda (belli bir aciyla) dondurur.
> > >
> > > C_g, iste bu eksen etrafindaki dondururler kumesidir. Bir altgruptur.
> > > C_g'nin her elemani bir aci tarafindan belirlenmistir (cunku eksenler hep
> > > ayni, g'nin ekseni). Ve carpma da (yani composition) acilarin modulo 2pi
> > > toplanmasina denktir. Bu yuzden grup R/2piZ'ye izomorftur.
> > >
> > > SO_3, g in A icin C_g altgruplarinin bilesimidir. Ve bu C_g
> > > altgruplari Id (identity) disinda ayriktir.
> > >
> > > Dahasi, g in A ve h in A ise, oyle bir t in SO_3 vardir ki, t^{-1}gt =
> > > h'dir.
> > >
> > > Eger C_g'nin bir uniform sampling'ini alsan, diyelim U ve t in SO_3
> > > icin t^{-1}Ut'lerin bilesimini alsan belki istedigini elde edersin.
> > >
> > >
> > >
> > > Bir baska oneri: g, h in A olsun. Ve g neq h olsun. O zaman G = C_g
> > > C_h C_g esitligi dogrudur. U ve V, C_g ve C_h'de uniform sampling olsunlar.
> > > O zaman UVU acaba SO_3'un bir uniform sampling'i olabilir mi?
> > >
> > >
> > >
> > > Eger bu da olmazsa, U ve W, C_g'nin birbirinde "bagimsiz"
> > > sampling'leri olsun. V de C_h'nin olsun. O zaman UVW belki de aradigindir.
> > >
> > >
> > >
> > > Ali
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >  ------------------------------
> > >
> > > *From:* md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org [mailto:
> > > md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] *On Behalf Of *Kerem Altun
> > > *Sent:* Friday, May 25, 2007 6:06 PM
> > > *To:* md-sorular at matematikdunyasi.org
> > > *Subject:* [MD-sorular] Re: SO3 ve ornekleme
> > >
> > >
> > >
> > > Hatta, bu yazdigimdan birsey anlayanlar sunun yanitini verse de olur:
> > >
> > > Bu soruyu nasil dogru duzgun sorabilirim?
> > >
> > > Kerem
> > >
> > >  On 5/25/07, *Kerem Altun *<kerem.altun at gmail.com> wrote:
> > >
> > > Simdi bir soru soracagim ama, soruyu dogru sorup sormadigimi bile
> > > bilmiyorum.
> > >
> > > SO3 kumesi uzerinde uniform sampling nasil yapilir?
> > >
> > > Aciklayayim ne demek istedigimi:
> > >
> > > 3 boyutlu uzayda bir objenin bir noktasini orijine sabitleyelim.
> > > Objeyi bu noktanin etrafinda dondurelim. Dondurdukten sonra objenin
> > > "konfigurasyonu" degisir. Objenin tum bu konfigurasyonlarinin kumesine SO3
> > > deniyor diye biliyorum, emin degilim gerci ama yukarida o anlamda kullandim.
> > > Hatta dogrusunu birisi yazabilirse sevinirim. Neyse, bu konfigurasyonu 3
> > > adet aciyla (bunlara Euler acisi denir) belirleyebilecegimiz gibi,
> > > orthogonal bir matrisle veya quaternionlarla da belirleyebiliriz.
> > >
> > > Iste, tum bu konfigurasyonlarin icinden oyle ornekler alacagiz ki,
> > > bunlar "uniform" dagilmis olacak.
> > >
> > > Herhalde ornegin 3 Euler acisi icin [0,2pi]x[0,2pi]x[0,2pi] kupunden
> > > uniform sample almakla SO3'ten uniform sample almak ayni sey degildir. Ya da
> > > oyle midir?
> > >
> > > Yani mesela [0,2pi]x[0,2pi] karesinden uniform sample alinca bunlar S2
> > > kuresi uzerinde uniform dagilmis olmuyor. Zaten galiba kurenin uzerinde
> > > boylamlar [0,2pi] arasinda degisirken enlemler [-pi/2,pi/2] arasinda
> > > degisiyor. Ama [0,2pi]x[-pi/2,pi/2] dikdortgeninden uniform sample alsak
> > > bile, bu sample'lar kurenin uzerine koyunca kutuplarda toplaniyor galiba.
> > >
> > > S2 kuresini gectim, bunu SO3 icin yapmak istiyoruz. Anlatabildim mi
> > > acaba sorumu? Ingilizce terimler icin kusura bakmayin.
> > >
> > > Kerem
> > >
> > >
> > >
> >
> >
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070527/c407e9db/attachment.htm