Re: [MD-sorular] Türeve düzgün yakınsama

[E. Mehmet Kıral]

Merhaba,

Sonucu buldum, paylaşmak istedim herkesle.
Soruyu tekrar hatırlatayım.

f(x,y) iki değişkenli bir fonksiyon ve x'e göre türevi sürekli.
O durumda INT (a -->b) f(x,y) dy fonksiyonunun x'e göre türevinin
df/dx fonksiyonunun integraliyle aynı olduğunu iddia etmiştim.
Daha doğrusu bu eşitliğin sağlanması için yeterli bir koşul arıyordum
ve df/dx'in sürekli olması yetiyor.

Eğer türev limitini yazarsanız J(x) = INT(a -->b) f(x,y) dy
fonksiyonuna o zaman istediğimizi elde etmekteki tek sorunun limiti
içeri almakta olduğunu görürsünüz.
Yani türev oranının (ki kendisi [ f(x,y) - f(x_0,y) ] / (x - x_0) ) x
değişkeni x_0'a giderken düzgün bir şekilde f ' (x_0)'a yakınsadığını
bilmemiz yeterli.

İddiam f ' sürekli ise o zaman f'nin düzgün türevlenebildiği.
f ' bir [c,d] aralığında sürekli olsun. O zaman aynı zamanda düzgün süreklidir.
Dolayısıyla her epsilon > 0 için öyle bir delta > 0 bulunabilir ki |x
- y| < delta, |f ' (x) - f ' (y) | < epsilon anlamına gelsin. Ancak
ortalama değer teoreminden (MVT) dolayı da
|[f(t) - f(x)]/(t - x) - f ' (x) | = |f ' (c) - f ' (x)|
Ve eğer |x - t| < delta ise o zaman c de t ile x arasında olduğundan |
c- x| < delta.
Dolayısıyla ele aldığımız oran epsilondan küçük.

Bu da türev oranının türeve düzgün yakınsadığını gösteriyor.
Bu da limiti içeri gönül rahatlığıyla alabileceğimizi.

Bir de soru sorayım en sonunda (Rudin sormuş) f ' sürekli ise f düzgün
türevlenebilirdir ifadesi f eğer vektör değerleri alan bir fonksiyonsa
da geçerli midir?

2006/11/9, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>:
> > h->0) lim [ (1/h) INT (a'dan b'ye)  [ (F'(x+h,t)  - [F'(x,t) ] ] =
> >
> > h->0) lim [ (1/h) [  (alt sınır a, üst sınır b ve farkın integralinden) [
> > (F(x+h,t)  - [F(x,t) ] ] =
> >
> > (   "İntegrali nasıl aldın, t üzerinden entegre ediyoruz."  Evet, orayı da
> > düzelterek yukarıdaki son satırın eşitini aşağıya yazarak devam ediyorum. )
> >
> > ( "Bir de F' ifadesinden kastın dF/dx herhalde" Evet, x e göre kısmi türevi
> > kastediyorum.)
> >
> > = (h->0) lim [ (1/h) [ [ (F(x+h,b) - F(x+h,a) ] - [F(x,b) - F(x,a) ] ] ] =
> >
>
> Burada integral t'ye göre ama türev x'e göre. Analizin temel teoremini
> kullanamazsın dolayısıyla.
>


-- 
I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
Plato.