Re: [MD-sorular] Hangi fonksiyonlar türevdir?

[Ali İlik]

Şu örnek işine yarar mı?

"Define F: [0,1] --> [0,1] by

 F(0. x_1 x_2 x_3 x_4 ...) = 0. x_1 x_1 x_2 x_1 x_2 x_3 ...

Write 1 = .999..., but all other rationals in [0,1] are
expressed without the use of an infinite tail of 9's. The
subscript index pattern on the right hand side of the equation
above is 1 12 123 1234 12345 123456 ...

Then F has the intermediate value property but (a) F is not
Riemann integrable over any closed subinterval of [0,1]
and (b) for no subinterval I of [0,1] does the restriction of
F to I have an antiderivative.
"
http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/mathedu/jan00/0001.html

28.05.2007 tarihinde Ali İlik <aliilik at gmail.com> yazmış:
>
> "Buradaki ifade sanki aradeğer özelliğini sağlayan ancak öncülü olmayan
> bir fonksiyon olduğu yönünde."
>
> Sanki değil, kesinlikle öyle. Çünkü "yeterli değil" diyor. Bu demektir ki
> ara değer özelliğini sağlayan ancak ilkeli olmayan bir fonksiyon vardır.
>
> "Böyle bir fonksiyon örneği bilen var mı?"
>
> Öyle bir fonksiyon şu şekilde oluşturabilirsin Wikipedia'ya göre. (2.
> şartı sağlayan bir kümenin var olup olmadığını (ben) bilmiyorum,
> Wikipedia'ya göre var.)
>
> 1) Fonksiyon aradeğer özelliğini sağlasın.
> 2) Fonksiyonun süreksizlik noktalarının kümesi bir Meagre set olsun. Yani,
> (diyelim reel sayılarda çalışıyoruz) fonksiyonun süreksizlik noktalarının
> kümesi R'nin (reel sayılar kümesi) sayılabilir çoklukta hiç bir yerde yoğun
> olmayan altkümelerinin birleşimi olarak yazılamayan bir altkümesi olsun.
>
> Yukarıdaki 2 şartı sağlayan bir fonksiyonun ilkeli (antiderivative'si)
> yoktur.
> Demek ki soru, "R'nin (reel sayılar kümesi) sayılabilir çoklukta hiç bir
> yerde yoğun olmayan altkümelerinin birleşimi olarak yazılamayan bir
> altkümesi"ni bulmaya indirgenmiştir...
>
> "Ya da sadece böyle bir fonksiyon olup olmadığı bilinmediği için mi
> "yeterli değil" yazmışlar."
>
> Hayır hayır... Öyle yapmışlarsa, büyük hata yapmışlar. Metamatematik,
> mantık vs yönünden hata yapmışlar.
> Zira, öyle bir fonksiyonun olup olmadığını bilmiyorlarsa, o zaman ne
> "yeterlidir" yazabilirler ne de "yeterli değil" yazabilirler. En fazla
> undecidable yazabilirler...
>
> Yukarıdaki yazdıklarımın Wikipedia'dan çeviri olduğunu belirteyim.
> Belirtmesem de linklere göz atanlar hemen anlamışlardır. Anladığımı yazmaya
> çalıştım. Ölçüm teorisi ve kümeler teorisi konusundaki bilgilerimin sıfıra
> yakın olduğunu söyleyeyim. Wikipedia'nın da zaman zaman hata yaptığı
> malumdur. En iyisi birkaç kişinin görüşünü daha almak Mehmet.
>
> Kapanış, iç dış vs kavramlarıyla ilgili mevzularda biraz farklı tanımların
> soruyu daha kolay hale getirebildiğinden yola çıkarak son bir not ileteyim
> şu linkten: http://en.wikipedia.org/wiki/Meagre_set
>
> "R'nin (reel sayılar kümesi) sayılabilir çoklukta hiç bir yerde yoğun
> olmayan altkümelerinin birleşimi olarak yazılamayan bir altkümesi"ni bulmak
> yerine (öyle bir küme olması lazım (!) yoksa tüm yazdıklarım çöpe gider!)
> şöyle bir küme bulsak da olur:
>
> "Tümleyeni bir comeagre set olan bir küme (meagre set'in bir başka
> tanımı...)"
>
> Yani, sayılabilir çoklukta açık, yoğun kümelerin kesişimini içeren bir
> kümenin tümleyeni olan bir küme bulduğumuz zaman bitecek.
>
> Öyle bir küme düşüneceğim fırsatını bulunca... Bulursan haber ver lütfen.
>
> Mesela en azından R'nin sayılamayan bir altkümesi olarak irrasyonel
> sayıları seçebiliriz. Tabi yoğunluk/hiç bir yerde yoğun olamama noktasına da
> dikkat etmek lazım.
>
> Son olarak, "1 ve 2. şartı sağlayan fonksiyonların antiderivative'leri
> yoktur." bunun da kanıtı lazım tabii!...
>
> 28.05.2007 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> >
> > Buradaki ifade sanki aradeğer özelliğini sağlayan ancak öncülü olmayan
> > bir fonksiyon olduğu yönünde.
> >
> > Böyle bir fonksiyon örneği bilen var mı?
> > Ya da sadece böyle bir fonksiyon olup olmadığı bilinmediği için mi
> > "yeterli değil" yazmışlar.
> >
> > 2007/5/27, Ali İlik < aliilik at gmail.com>:
> > > "- A necessary, but not sufficient, condition for a function f to have
> > an
> > > antiderivative is that f have the intermediate value property.
> > >  - The set of discontinuities of f must be a meagre set. This set must
> > also
> > > be an F-sigma set (since the set of discontinuities of any function
> > must be
> > > of this type). Moreover for any meagre F-sigma set, one can construct
> > some
> > > function f having an antiderivative, which has the given set as its
> > set of
> > > discontinuities."
> > >
> > > http://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative
> > >
> > >
> > > 27.05.2007 tarihinde E. Mehmet Kıral < luzumi at gmail.com> yazmış:
> > > >
> > > > Reellerde tanımlı her fonksiyon başka bir fonksiyonun türevi olamaz.
> > > > Çünkü türevler (sürekli olmaları gerekmediği halde) ara değer
> > > > özelliğini sağlamaktadırlar.
> > > >
> > > > Peki ya ara değer özelliğini sağlayan her fonksiyon bir başka
> > > > fonksiyonun türevi midir?
> > > >
> > > > --
> > > > I have hardly ever known a mathematician who was capable of
> > reasoning.
> > > > Plato.
> > > >
> > > > _______________________________________________
> > > > MD-sorular mailing list
> > > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > > >
> > > >
> > >
> > >
> >
> >
> > --
> > I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> > Plato.
> >
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070528/f474bf07/attachment.htm