Re: [MD-sorular] Hangi fonksiyonlar türevdir?

[Ali İlik]

"Buradaki ifade sanki aradeğer özelliğini sağlayan ancak öncülü olmayan
bir fonksiyon olduğu yönünde."

Sanki değil, kesinlikle öyle. Çünkü "yeterli değil" diyor. Bu demektir ki
ara değer özelliğini sağlayan ancak ilkeli olmayan bir fonksiyon vardır.

"Böyle bir fonksiyon örneği bilen var mı?"

Öyle bir fonksiyon şu şekilde oluşturabilirsin Wikipedia'ya göre. (2. şartı
sağlayan bir kümenin var olup olmadığını (ben) bilmiyorum, Wikipedia'ya
göre var.)

1) Fonksiyon aradeğer özelliğini sağlasın.
2) Fonksiyonun süreksizlik noktalarının kümesi bir Meagre set olsun. Yani,
(diyelim reel sayılarda çalışıyoruz) fonksiyonun süreksizlik noktalarının
kümesi R'nin (reel sayılar kümesi) sayılabilir çoklukta hiç bir yerde yoğun
olmayan altkümelerinin birleşimi olarak yazılamayan bir altkümesi olsun.

Yukarıdaki 2 şartı sağlayan bir fonksiyonun ilkeli (antiderivative'si)
yoktur.
Demek ki soru, "R'nin (reel sayılar kümesi) sayılabilir çoklukta hiç bir
yerde yoğun olmayan altkümelerinin birleşimi olarak yazılamayan bir
altkümesi"ni bulmaya indirgenmiştir...

"Ya da sadece böyle bir fonksiyon olup olmadığı bilinmediği için mi
"yeterli değil" yazmışlar."

Hayır hayır... Öyle yapmışlarsa, büyük hata yapmışlar. Metamatematik, mantık
vs yönünden hata yapmışlar.
Zira, öyle bir fonksiyonun olup olmadığını bilmiyorlarsa, o zaman ne
"yeterlidir" yazabilirler ne de "yeterli değil" yazabilirler. En fazla
undecidable yazabilirler...

Yukarıdaki yazdıklarımın Wikipedia'dan çeviri olduğunu belirteyim.
Belirtmesem de linklere göz atanlar hemen anlamışlardır. Anladığımı yazmaya
çalıştım. Ölçüm teorisi ve kümeler teorisi konusundaki bilgilerimin sıfıra
yakın olduğunu söyleyeyim. Wikipedia'nın da zaman zaman hata yaptığı
malumdur. En iyisi birkaç kişinin görüşünü daha almak Mehmet.

Kapanış, iç dış vs kavramlarıyla ilgili mevzularda biraz farklı tanımların
soruyu daha kolay hale getirebildiğinden yola çıkarak son bir not ileteyim
şu linkten: http://en.wikipedia.org/wiki/Meagre_set

"R'nin (reel sayılar kümesi) sayılabilir çoklukta hiç bir yerde yoğun
olmayan altkümelerinin birleşimi olarak yazılamayan bir altkümesi"ni bulmak
yerine (öyle bir küme olması lazım (!) yoksa tüm yazdıklarım çöpe gider!)
şöyle bir küme bulsak da olur:

"Tümleyeni bir comeagre set olan bir küme (meagre set'in bir başka
tanımı...)"

Yani, sayılabilir çoklukta açık, yoğun kümelerin kesişimini içeren bir
kümenin tümleyeni olan bir küme bulduğumuz zaman bitecek.

Öyle bir küme düşüneceğim fırsatını bulunca... Bulursan haber ver lütfen.

Mesela en azından R'nin sayılamayan bir altkümesi olarak irrasyonel sayıları
seçebiliriz. Tabi yoğunluk/hiç bir yerde yoğun olamama noktasına da dikkat
etmek lazım.

Son olarak, "1 ve 2. şartı sağlayan fonksiyonların antiderivative'leri
yoktur." bunun da kanıtı lazım tabii!...

28.05.2007 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
>
> Buradaki ifade sanki aradeğer özelliğini sağlayan ancak öncülü olmayan
> bir fonksiyon olduğu yönünde.
>
> Böyle bir fonksiyon örneği bilen var mı?
> Ya da sadece böyle bir fonksiyon olup olmadığı bilinmediği için mi
> "yeterli değil" yazmışlar.
>
> 2007/5/27, Ali İlik <aliilik at gmail.com>:
> > "- A necessary, but not sufficient, condition for a function f to have
> an
> > antiderivative is that f have the intermediate value property.
> >  - The set of discontinuities of f must be a meagre set. This set must
> also
> > be an F-sigma set (since the set of discontinuities of any function must
> be
> > of this type). Moreover for any meagre F-sigma set, one can construct
> some
> > function f having an antiderivative, which has the given set as its set
> of
> > discontinuities."
> >
> > http://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative
> >
> >
> > 27.05.2007 tarihinde E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> yazmış:
> > >
> > > Reellerde tanımlı her fonksiyon başka bir fonksiyonun türevi olamaz.
> > > Çünkü türevler (sürekli olmaları gerekmediği halde) ara değer
> > > özelliğini sağlamaktadırlar.
> > >
> > > Peki ya ara değer özelliğini sağlayan her fonksiyon bir başka
> > > fonksiyonun türevi midir?
> > >
> > > --
> > > I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> > > Plato.
> > >
> > > _______________________________________________
> > > MD-sorular mailing list
> > > MD-sorular at matematikdunyasi.org
> > > http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
> > >
> > >
> >
> >
>
>
> --
> I have hardly ever known a mathematician who was capable of reasoning.
> Plato.
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20070528/789baef7/attachment.htm