[MD-sorular] Neden 1, 0'a esit degildir?

[tibet efendi]

Merhaba,

Yanit icin tesekkür ederim.
Yazdiklariniz hakkinda düsündüm, iki sorunum var yazdiklarinizla ilgili.

1)

Demissiniz ki:
"Althalkada da halkanin 1'i olmali (baska bir 1 olmaz, illa ki halkanin 1'i). Ornegin R x {0}, R x R'nin althalkasi degildir."

Bu dediginiz, "reel sayilar, kompleks sayilarin althalkasi degildir" demekle ayni sey. Ama althalkasi.

(Rx{0} reel sayilara, RxR de kompleks sayilara izomorf.)

RxR'de carpmayi nasil tanimliyorsunuz? 
Baska yolu var mi bilmiyorum ama genelde kompleks sayilarda oldugu gibi su sekilde tanimlaniyor:

(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Böyle tanimlandiginda RxR halkasinda carpmanin 1 elemani (1,0) oluyor ki kendisi Rx{0}'in icinde mevcut. (Ayrica Rx{0} carpma islemine göre kapali ve her elemanin tersi de var. Toplama islemine göre de aynen, kapali ve her elemanin tersi var.)

Yani Rx{0}, RxR'nin althalkasi oluyor.

---

Yalniz su an bir sey farkettim. Eger carpmayi 
(a,b)*(c,d)=(a*c,b*d) 
seklinde tanimlarsaniz örneginiz dogru oluyor, siz herhalde bunu kastettiniz.

O zaman RxR bir cisim olmuyor ama bir halka oluyor. 1 elemani da (1,1) oluyor. Cisim olamiyor cünkü (0,0) haric her elemanin tersi yok. (örnegin (5,0) elemaninin tersi yok)
Neyse, bu durumda Rx{0} kendisi bir halka olmasina ragmen RxR'nin althalkasi degil. Evet.


2)

Demissiniz ki:
"Nedenlerden biri: Cisimlerde 1 olmazsa, örnegin, her vektor uzayinin tabani olmaz."

Benim sorum, "Cisimlerde neden 1 elemani olmak zorunda?" degil de "Neden 1, 0'dan farkli olmak zorunda?" seklinde.

Cisim tanimlanirken 1=0'a izin verildigini varsayalim. 
1, 0'a esit degilse sorun yok. 
1=0 durumunda önceki mailde söyledigim sebepten cisim yalniz bir elemandan olusmak zorunda. Bu bir elemandan olusan seye cisim denmesine izin verildigini varsayalim.

Bu durumda bu cisim üzerinden bir vektör uzayi tanimlayalim. v bu vektör uzayinda bir vektör olsun. Vektör uzayi aksiyomlarinda 1*v=v diye bir aksiyom var. O zaman v=1*v=0*v=0 olur. 
(0*v=0, cünkü 0*v=(0+0)v=0*v+0*v sadelestirince 0*v=0 kaliyor
Bu arada bu yalniz basina duran sifir, cismin sifiri degil, sifir vektörü. Ikisi icin de 0 yaziyorum bir karisiklik olmasin.)

Yani tek elemanli cisme izin verilseydi bu cisim üzerinden tanimlanan vektör uzayi da yalniz sifir vektöründen olusan bir elemanli bir uzay olurdu. Onun da tabani bos küme olurdu. (Sifir uzayinin tabani bos kümeymis. Ben kitabin yalancisiyim. Lineer cebir kitabimda aynen söyle yaziyor: "Yalniz sifir vektöründen olusan sifir uzayinin da tabani bos kümedir. Bu kücük mutlulugu bos kümeye cok görmeyelim.")
Yani taban konusunda bir sorun cikmiyor.

Bence matematikcilerin tek elemanli cisme izin vermemelerinin sebebi zevk meselesi. Aksiyomlar az gelmis. Bir aksiyom da gönlümüzden koptu demisler.
Yamuluyorsam düzeltin.

Halka homomorfizmlerinde 1'i 1'e göndermenin zorunlu olmasi da ayni sekilde zevk meselesi sanirim. Birinin kalkip bir halkanin bütün elemanlarini diger halkanin 0'ina gönderip homomorfizm yaratmasini engellemeye calismislar. "O kadar kolay degil arkadasim!" seklinde bir uyari sözkonusu.

Tibet




--- On Thu, 8/14/08, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:

> From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
> Subject: RE: [MD-sorular] Neden 1, 0'a esit degildir?
> To: tibetefendi at yahoo.com, "'Matematik Dunyasi'" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Thursday, August 14, 2008, 11:51 PM
> Nedenlerden biri: Cisimlerde 1 olmazsa, ornegin, her vektor
> uzayinin tabani
> olmaz.
> 
> 1'li halkalarda da cisimlerde oldugu gibi 1'in
> 0'a esit olmadigi kabul
> edilir genellikle.
> 
> Ama nedense idealin oz ideal olmasi gerektigi soylenmez.
> 
> Morfizmler de 1'i 1'e goturmek zorundadir.
> 
> Althalkada da halkanin 1'i olmali (baska bir 1 olmaz,
> illa ki halkanin 1'i).
> Ornegin R x {0}, R x R'nin althalkasi degildir.
> 
> Ali
> 
> -----Original Message-----
> From: md-sorular-bounces at cs.bilgi.edu.tr
> [mailto:md-sorular-bounces at cs.bilgi.edu.tr] On Behalf Of
> tibet efendi
> Sent: Friday, August 15, 2008 4:22 AM
> To: Matematik Dunyasi
> Subject: [MD-sorular] Neden 1, 0'a esit degildir?
> 
> 
> Merhaba,
> 
> Cisim aksiyomlarinda "1, 0'a esit degildir"
> diye bir aksiyom var. Kisaca
> yaziyorum aksiyomlari neden bahsettigim daha iyi anlasilsin
> diye:
> 
> K bir küme, toplama ve carpma KxK'dan K'ya iki
> islem olsun.
> (1) K toplama islemiyle birlikte degismeli bir gruptur.
> (2) Carpmanin parantezsiz yazilma ve degisme özelligi var.
>     Ayrica carpmanin SIFIRDAN FARKLI 1 adinda bir etkisiz
> elemani var. 0
> haric her elemanin carpmaya göre tersi var.
> (3) Carpmanin toplama üzerinde dagilma özelligi var.
> Bu (K,+,*) üclüsüne cisim denir.
> 
> (burada (2) numarayi su sekilde degistirebiliyoruz:
> K\{0} kümesi carpma islemiyle beraber degismeli bir
> grup. O zaman ayrica "1,
> 0'a esit degildir" demeye gerek kalmiyor)
> 
> Sorum su: Bu "0, 1'e esit degildir" olayini
> neden koymuslar.
> 1=0 durumda herhangi bir v elemani icin su oluyor:
> v=1v=0v=0. (0v=0 cünkü
> 0v=(0+0)v=0v+0v oluyor. 0v'lere birbirini
> götürttürebiliyoruz grup olmasi
> sayesinde. geriye kaliyor 0=0v)
> 
> Dolayisiyla 1=0 olunca tek sorun cismin sadece 0'dan
> ibaret olma ihtimalinin
> dogmasi. Yani "1=0 olmasin!" diyerek sadece
> "cisim tek elemandan olusamaz,
> illa en az iki elemani olacak" demis oluyorlar.
> (atalarimiz)
> 
> Bir cisim sadece sifir elemanindan olussa ne sorun cikar?
> Neden bu durumu
> yok etmek istemisler? Bu konuda fikri olan var mi?
> 
> Tek elemanli grup oluyor da tek elemanli cisim neden
> olmasin? Cismin basi
> kel mi?
> 
> Ayni durum 1 elemani olan halkalar icin de sözkonusu mu?
> 1'li halkanin
> taniminda "1, 0'a esit degildir" diye bir
> sart var mi?
> 
> Tenks,
> 
> Tibet