[MD-sorular] Design sorularinin yanitlarini buldum

[Ali Ilik]

   "KANITLAYINIZ ki bir (4t-1, 2t-1, t-1)-Hadamard dizayni varsa  
A_2Â (4T-1, 2T-1)>=8T. (I)"

   Bunu (7, 16, 3) kurulumunu taklit ederek yapariz evet, esitlik  
tahminim dogru ama gerekcesi sallamasyondu. Esitlik iki lemmadan  
geliyor.

   LEMMA 1. 

   d tekse, A_2 (n, d)= A_2 (n+1, d+1) ve dolayisiyla A_2Â (4T-1,  
2T-1)=A_2Â (4T, 2D).

   LEMMA 2. (Plotkin Bound) d ciftse A_2 (2d, d)<=4d dolayisiyla  
A_2Â (4T-1, 2T-1)&LT;=8T. (II)

   (i) ve (ii)'den A_2Â (4T-1, 2T-1)=8T. Plotkin Bound aslinda 4  
secenekli ve azicik cetrefili. Floor function falan giriyor devreye.

   2. soruda sutunlari degistirmek denkligi bozmayacagindan biraz  
oynama yapmak akillica. Her kod icin sihirli bir degnek yok. Benzer  
sorular zaten kodlama teorisinin temel sorularindan.

   Ali

   > On 12/7/08, Ali Ilik <ali.ilik at ugent.be> wrote:
>>
>>
>> Â  Â  1- Kanitlayiniz ki bir (4t-1, 2t-1, t-1)-Hadamard dizayni varsa A_2
>> (4t-1, 2t-1)<=8t.
>>
>> Â  Â  Esitlik olmasi gerektigini dusunuyorum. Neden buyuk isareti var
>> anlamis degilim.
>>
>> Â  Â  (7, 16, 3)-kodunun varligi soyle gosterilebilir. 2. dereceden
>> projektif duzlemin incidence matrisini ve bu matrisin altina tum
>> 1'leri 0'larla ve 0'lari 1'lerle degistirerek elde edilen matrisi ve 0
>> ve 1'i ekleyelim. Sonuc bir (7, 16, 3)-kodudur. Ustelik bu kod bir
>> mukemmel koddur cunku /sphere-packing bound/u saglar:
>> 16(C(7,0)+C(7,1))=2^7.
>>
>>     E peki,  (4t-1, 2t-1, t-1)-Hadamard dizayni da bir simetrik
>> dizayndir. Yukaridaki ornekteki gibi yaparim kodu. Yine perfect olmaz
>> mi?? Hatami goremiyorum. Siyirmak uzereydim, sorudan zor aldim
>> kendimi. Aslina, galiba t-1 isi bozuyor. Cunku mesela 10. dereceden
>> projektif duzlemin -yoklugu kanitlanmis yakin zamanda bilgisayarla-
>> lambdasi 1. (11, 11,1) yani. Yani ikililer tam olarak bir blokta
>> beraber bulunur. (Asagida, baska soruda lamdayi h ile gosterecegim.)
>> Ama Hadamard'da oyle olmayabilir. Mesela t=3 aliriz. Ama bunu da
>> kontrol ettim. Minumum uzakliklarda sorun yok gibi gozukuyor:
>>
>> Â  Â  A: Incidence matris, B: interchange matris olsun. d(x, y)=
>> w(x)+w(y)-w(x kesisim y) agirlik formulunden,
>>
>> Â  Â  d(a_i, a_j)=2t-1+2t-1-2.(t-1)=2t>t-1. (i farkli j elbet.)
>>
>> Â  Â  d(b_i; b_j)=2t>t-1 cunku 0 ve 1'leri degistirmekle uzakliklar degismez.
>>
>> Â  Â  d(0, y)=2t-1 veya 2t veya 4t-1; y'nin a_i, b_j ya da 1 olmasina gore.
>>
>> Â  Â  d(1, y)=2t-1 veya 2t veya 4t-1; y'nin b_i, a_i, ya da 0 olmasina gore,
>>
>> Â  Â  d(a_i, b_j)=4t-1-d(a_i, a_j)=4t-1- 2t=2t-1>t-1
>>
>> Â  Â  Bir yerde hata yapiyorum herhalde. Daha fazla kod eklersem bozulmaz
>> demek ki teoremse bu. Onu deneyeyim o zaman.
>>
>> Â  Â  2- "Up to equivalence bir tek (8, 4, 5)-kodu vardir ve A_2 (8,
>> 5)=4'tur." bunun kaniti anlasilir. Cok basit. Kanitta kullanilan ana
>> fikir su: (8, M, 5) kodu varsa M<= 4 olacak sekilde (Up to equivalence
>> 0 E C alabiliriz...), agirligi 6'dan buyukesit en fazla bir kod
>> olabilir -cunku minumum uzaklikta celisir aksi durum. Bu kelimeleri
>> adam 11111000 ve 11000111 almis. Diyor ki en son kelimenin
>> 00111111 hemen oldugu hemen gozukur. Evet, saniyede gozukuyor, dogru.
>> Ama 1111100 ve 00011111 aldim, patladi. Yalan oldu, balon oldu,
>> patates oldu. Nereden bilecegiz guzel bir sekilde secmesini o
>> kelimeleri? "Tecrubeyle, cok soru cozdukce" yanitindan farkli yaniti
>> olan var mi?
>>
>> Â  Â  Sukru Bey, Goldbach'i kanitlayamadim ve kanitlayamayacagim da ama
>> bakiniz bu ve benzer bir ornekten -(5,4,3) exists and unique up to
>> eq.- genellestirme yapmak istedim ve basardim. Buna da Ilik teoremi
>> diyelim mi? Ama cok basit. Lise 1 duzeyinde anlatirim bunlari.
>> Demeyelim demeyelim, ayip olur... Haydi bir kereligine diyeyim de egom
>> tatmin olsun(!)
>>
>> Â  Â  ILIK TEOREMI. /Let C be a binary (n, M, d)-code. Then, C contains
>> at most one codeword x with w(x)>= A, where,/
>>
>> Â  Â  /A= (n-d/2)+1 if d is even; /
>>
>> Â  Â  /A=n-(d-1)/2 if d is odd./
>>
>> Â  Â  3-/ z^2=6x^2-y^2/ denkleminin x, y ve z tamsayilarinda hepsi birden
>> sifir olmayan bir cozumunun olmadigini nasil kanitlariz? Hangi sinifa
>> girer bu denklem?
>>
>> Â  Â  Eger bunu kanitlarsak sunu kanitliyoruz: (43, 43, 7, 7, 1)-dizayni
>> yoktur! Alakaya bak cay demle! Alaka asagida:
>>
>> Â  Â  /Bir (v, k, h)-dizayni mevcutsa ,/
>>
>> Â  Â  /(i) v ciftce, k-h bir tamkaredir./
>>
>> Â  Â  /(ii) v tekse, z^2=(k-h).x^2+(-1)^[(v-1)/2].h.y^2/
>>
>> Â  Â  BKZ: BRUCK, RYSER, CHOWLA, 1950.
>>
>> Â  Â  /Not: (43,7,1)- her (b, v, r, k, h)-dizayni icin gecerli olan/
>>
>> Â  Â  /bk=vr ve r(k-1)=l(v-1) esitliklerini -iki turlu saymaya dayanan
>> basit kanitli- sagliyor! Ama yok iste. Oyle bir dizayn yokmus./
>>
>> Â  Â  Su soru acik/ (Kitabin 1986 baskisi itibariyle./ Aa simdi baktim
>> kutuphanede 2001 baskisi varmis, belki cozulmustur. Ne keyifli olur
>> cozumunu okumak.../):/
>>
>> Â  Â  /bk=vr ve r(k-l)=l(v-1) saglansin. Yetmedi asagidakiler de saglansin./
>>
>> Â  Â  /(i) v ciftce, k-h bir tamkaredir./
>>
>> Â  Â  /(ii) v tekse, z^2=(k-h).x^2+(-1)^[(v-1)/2].h.y^2/
>>
>> Â  Â  /(b, v, r, k, h)-dizayni varmidir?/
>>
>> Â  Â  Vay anam vay... Ah be Serttop beyefendicigim... Goldbach he?
>> Vallahi bunlar daha zevkli cunku az bucuk bir seyler anliyorsunuz...
>>
>> Â  Â  Ali
>>
>
>
> --
> Fatih Kürsad CANSU
> Kendi Halinde Bir YaÅŸam Formu
> "His boyhood lasted one sixth of his life; his beard grew after
> one twelfth more; he married after one seventh more; his
> son was born five years later; the son lived to half his father's
> age, and the father died four years after his son. How old was
> Diophantus when he died?"
>

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20081213/e8dd2ba7/attachment.htm