[MD-sorular] en yakin uzaklik

[Kerem Altun]

Tam muhendis kaniti olmus bu :) Ben bu kadar matematikciye rezil olmayayim
diye yazmamistim. Tamam, bu durumda kapali egrimizi (x(s),y(s)) ile
beliryeyelim. Hatta s "arc length parameter" olsun, turkcesini bilmiyorum
kusura bakmayin. Egrinin uzunlugu L ise, bu fonksiyonlarin periyodu da L
olmali. Bu sekilde parametrize ettigimizi dusunelim. Simdi bu x(s) ve y(s)
fonksiyonlarini discrete bir kume ile belirleyebiliriz (yani Fourier
katsayilari ile). Bu durumda verilen bir (x_0,y_0) noktasinin egriye
uzakligini bu katsayilar cinsinden nasil buluruz?

Kerem


2008/12/31 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>

> s'yi zaman gibi düsünün. Kalemle o kapali egriyi elinizi kaldirmadan
> cizdiginizi düsünün.
> Her "an" icin kalemle üzerinde durdugunuz bir nokta var.
>
> Simdi örnegin bu egiriyi toplam bir dakikada dönüp dolasip tekrar
> basladiginiz yere cizerek geldiginizi düsünün. Bu cizme islemini arka arkaya
> sabit hizla tekrarladiginizda s'ye bagli periyodik fonksiyon oluyor.
>
> Baska türlü bir düsünme sekli de su olabilir: Bunu ben simdi icad ettim.
>
> Bir egrinin parametrik yazimi biricik degildir demissiniz. Bu cümlenizden
> nasil bir seyden bahsettiginiz anlasiliyor.
>
> Yani R den R^2 ye bir fonksiyon söz konusu. Ve siz egri derken o
> fonksiyonun görüntü kümesinden bahsediyorsunuz.
> "Bir egrinin parametrik yazimi biricik degildir" derken de dediginiz sey
> aslinda "bir fonksiyonun görüntü kümesini bilirsek o fonksiyonun ne
> oldugunu tam tespit edemeyiz" demekle ayni sey.
>
> Simdi R^2'deki görüntü kümesini (yani kapali egriyi) bildigimizi
> varsayalim. Bu, örnegin bir cember olsun.
> R^2'yi masa olarak düsünelim. masanin üzerinde duran bir cemberimiz var.
> Simdi masadan yukariya dogru ücüncü bir eksen cizelim. Bu eksen s ekseni.
>
> Görüntü kümesi o cember olan periyodik fonksiyon(lardan biri) bir yay gibi
> görünecektir. (yay gibi görünmeyen, hatta hic bir seye benzemeyen periyodik
> fonksiyonlar da cizilebilir) Ama yay gibi olani daha yakisikli.
> Yay derken döne döne sarmal gibi yükselen bir yayi kastediyorum. Yatak yayi
> gibi.
>
> Sadece cemberle degil herhangi bir kapali egriyle de bunu yapabilecegimiz
> görsel olarak cok acik.
>
> Bu dedigim aslinda yukaridaki kalemle cizme örneginin aynisi.
> Yine kalemle bir kagit üzerine kapali egriyi elimizi kaldirmadan ayni hizla
> ciziyoruz. Biz cizerken bir arkadasimiz da bir yandan üzerine cizdigimiz
> kagidi sabit hizla yukari kaldiriyor. Havaya bir sekil cizmis olduk. Iste
> yay diye bahsettigim sey o.
>
> O havaya cizdigimiz sey periyodik fonksiyonun grafigidir. (biricik degil bu
> tabi)
>
> (Hic bir sey kanitlamis olmadim, öyle bir fonksiyonun bulunabilecegine dair
> görsel düsüncelerimi anlattim)
>
> Tibet
>
> --- On *Tue, 12/30/08, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>* wrote:
>
> From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
> Subject: Re: [MD-sorular] en yakin uzaklik
> To: "barýþ uðurcan" <barisevren19 at yahoo.com>, "md md" <
> MD-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Tuesday, December 30, 2008, 4:05 PM
>
>
> Hayir aslinda oyle bir teoremden bahsetmedim. Bana periyodik olur gibi
> gelmisti, yani s eksi sonsuz ile sonsuz arasinda deger alirken. Peki o zaman
> oncelikle sunu sorayim. Bir egrinin parametrik yazilimi unique degildir
> sonucta. Kapali her egrinin, s eski sonsuz ile sonsuz arasinda deger almak
> uzere, x(s) ve y(s) periyodik olacak sekilde bir parametrizasyonu var midir?
> Bana vardir gibi geliyor, ama kanitlayamam.
>
> Kerem
>
>
> 2008/12/30 barýþ uðurcan <barisevren19 at yahoo.com>
>
>> kapali egri oldugu zaman x(s) ve y(s) fonksiyonlari periyodik olmak
>> zorunda degil mesela orijinden (0,0) cikip orijine donen bir egri:
>>
>> s eleman [-1,+1],  (x(s),y(s))=(s^2-1, s^3-s + 2s^2 - 2)
>>
>> ama sanirim sizin soylemek istediginiz Fourier analiz deki su teorem:
>>
>> Thm: f surekliyse, turevinin sadece sonlu sayida sureksiz noktasi varsa ve
>> f(-pi) = f (pi) ise o zaman f in fourier acilimi f e [-pi, pi] araliginda
>> duzenli (uniform) bicimde yaklasir. [Fourier series and Integral Transforms,
>> Pinkus & Zafrany, 57]
>>
>> tabii ki burada x(s) ve y(s) egri kapali oldugundan bu ozellikleri
>> sagliyor. son olarak teorem [-pi,pi] icin olsa da herhangi araliga
>> tasiyabiliriz.
>>
>> sordugunuz soruya gelince biliyosunuz seri acilimini exp(-inx) lerle de
>> yapabilirirz burada n yi istedigimiz tam sayi seceriz. simdi complex
>> duzlemde (25, 28) noktasini alalim ve su fonksiyonlari dusunelim
>> f_n=exp(-inx). Biliyoruz ki bu fonksiyonlarin fourier katsayilari exp(-inx)
>> icin 1 gerisi icin 0... ama hepsi de birim cemberi veriyor. yani kisacasi
>> (25,28) yada herhangi bir noktanin uzakligi fourier katsayilarina birebir
>> bagli olmak zorunda degil...noktanin birim cembere uzakligi hep ayni
>> (degisik fourier katsayili tum f_n ler icin).
>>
>> baris
>>
>> ------------------------------
>> *From:* Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>> *To:* md md <MD-sorular at matematikdunyasi.org>
>> *Sent:* Tuesday, December 30, 2008 4:54:26 PM
>> *Subject:* [MD-sorular] en yakin uzaklik
>>
>> Duzlemde bir (x(s),y(s)) kapali egrimiz olsun. Duzlemde bir de (x_0,y_0)
>> noktasi verilmis olsun.
>>
>> Egri kapali oldugundan, x(s) ve y(s) fonksiyonlari periyodiktir,
>> periyotlari da aynidir. Yani Fourier serisi olarak yazabiliriz bunlari.
>> Noktanin egriye en kisa uzakligini bu Fourier katsayilari cinsinden bulmak
>> istiyorum. Boyle bir bilgiye nereden ulasilabilir? En azindan matematigin
>> hangi alt dali bakar bu ise? Tesekkurler.
>>
>> Kerem
>>
>>
>>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20081231/d89deb51/attachment.htm