RE: [MD-sorular] Sonlu gruplarýn gerçek hayata uygulamasý var mýdýr?

5 Oca 2008 Cmt 14:35:09 EET

Sonsuz gruplar oldukca onemlidir ama bu onem sonlu grup yontemleri
uygulanabildigi olcude artar.

Ornek 1: Cebirsel gruplar ya da Lie gruplari ya da Chevalley gruplari:
Geometride ve diferansiyel denklemlerde ve fizikte onemlidir. Cismine gore,
Sylow teoremleri genellikle dogrudur bu kapsamda da (Sylow = maximal
p-subgroups ve Sylow teoremi: All Sylow p-subgroups are conjugate)

Ornek 2: Locally finite groups. Koca bir literatur vardir bu konuda.

Ornek 3. Kristal grouplari: Bunlar discrete (ayrik) gruplardir ve kimyada
onemlidir.

Ornek 4. Coxeter gruplari. Bircogu sonludur ama sonsuz olanlari da vardir ve
sonsuz boyutlu cebirlerde onemlidir.

Ornek 5. Polynomial growth groups...

Ornek 6. Sonsuz abelyen gruplar (ve moduller). Bu  konu bugun kumeler
kuraminin bir altdali haline gelmistir. Neyin dogru neyin yanlis oldugu
kumeler kuramina ve ucuk kardinallerin varligina gore degisiyor.

Ornek 7. Free groups, breed groups ve varyantlari. Topolojide onemlidir.

Ayrica herhangi bir yapinin otomorfizmalari da yapiyi anlamak acisindan
onemlidir.

Cebirsel kapali bir cisim uzerine cebirsel gruplar (ornek 1) sonlu
gruplardan daha kolaydir. Bu ornek disinda sonlu gruplar digerlerinden daha
fazla ele avuca sigarlar.

Ali

  _____  

From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of bary? u?urcan
Sent: Saturday, January 05, 2008 12:47 PM
To: md
Subject: Re: [MD-sorular] Sonlu gruplarýn gerçek hayata uygulamasý var
mýdýr?

Bence Sylow teoremlerinin cebir disinda oyle heryerde karsimiza cikmamasinin
nedeni teoremin sonlu gruplar icin olmasi... yani en genel bakis acisiyla
(belki biraz fazla genel) Sylow teoremleri "sonlu" bir yapi hakkinda
birseyler soyluyor. Benim (veya bizim) simdiye kadar karsilastigim
matematigin sadece cok az bir kismi "sonlu yapilar" la ilgileniyor: cebir ve
sonlu matematik. Mesela analizde hep sonsuz yapilarla (hatta bazen biraz
fazla sonsuz) ilgileniyor insanlar: sonsuz fonksiyon uzaylari, reel sayilar,
L1 uzaylari, C*-cebirleri... mesela C*-cebirlerinde de senin de belirttigin
gibi isin icine uzerinde bir carpma tanimli vektor uzaylari giriyor... yani
yine cebirin sonsuz objeler hakkinda soyleyecek birseyleri olan alanlari. Bu
arada sonsuz gruplar hakkinda "unlu" denilebilecek sonuclar var mi? Yoksa
benim "suana kadar gordugum sekliyle" sonsuz gruplar cebirin uvey evladi mi?
Belki sonsuz gruplarla ilgili bir sonuc cebir disinda daha fazla
kullanilabilir. Cunku mesela C*-cebirleri ayni zamanda (tabii ki!) sonsuz
bir grup. ve baska bircok fonksiyon uzayi.

baris

"E. Mehmet Kýral" <luzumi at gmail.com> wrote:

Sorunun sorulmamasý gerekiyordu derken, benim sorumu mu kastettiniz,
yoksa "sonlu basit gruplarý nasýl sýnýflandýrabilliriz?" sorusunun mu
sorulmamasý gerektiðini söylediniz? Gerçi bunu der demez hangisini
kastettiðinizi sezinledim.

Sonlu geometrilerde de karþýma çýkan cebir daha çok cisim ya da bölüm
halkasý hadi hiç olmadý halka kuramý. Örneðin "H grubu G içerisinde
sonlu indisli bir grup ise o zaman H'nin içerdiði, G'nin sonlu indisli
bir normal altgrubu vardýr," teoremi ya da Sylow Teoremlerini, cebir
dýþýnda hiç görmedim. Bu teoremlerin çok güzel olduklarýný görüyorum,
kendi kendilerine yeterliler. Benimki belki bir de kuþ kondurma.

Öte yandan "saf sonlu grup teorisinin sonuçlarýnýn uygulamalarýný
arýyorum" sorusunun iyi tanýmlý olmadýðýnýn farkýndayým. Hatta öyle
bir belirsiz bir taným yaptým ki, neredeyse karþýma çýkacak her
örneði, saf olmadýðý ya da saf olsa da elementer olduðu gerekçesiyle
defedebileek bir konuma yerleþtirdim kendimi.

Üstelik þöyle bir açýklama da yapýlabilir. Hayatta saf grup denilen
bir þeyin olup olmamasý bizi ilgilendirmez. Hatta herhangi bir yapýnýn
pek çok baþka yapýyla beraber gelmesini bekleriz zaten, yoksa
yeterince ilginç bir yapý oluþmaz. Biz saf grup teorisi çalýþarak
hangi sonucun hangi öncülden doðduðunu ayýklamaya çalýþýyoruz, bu çaba
hiç de azýmsanacak bir çaba deðildir. Bir matematiksel gerçeði tamamen
anlamak için her bir sonucun tam olarak hangi nedenden doðduðunun
araþtýrýlmasý gerekir.
Böyle bir açýklamaya da diyecek bir þeyim yok. Katýlýrým da (ben
yazdým zaten :) ).

Ancak yine de gönlüm istiyor ki, birisi (mesela siz) çýksýn ve "Þurada
þu þu þu yalýtýlmýþ gibi duran teoremi bir güzel kullandým, bir güzel
kullandým aklýn durur," desin. Hatta mümkünse lisans matematiðinden
örnek versin (artýk çok þey istiyorum sanýrým).

2008/1/5, Ali Nesin :
>
> " Geometride Erlangen programý
> uyarýnca geometriler gruplarla özdeþleþtiriliyor, ancak burada da
> yapay olmayan geometriler dýþýnda bir geometrinin dönüþümleri hep
> sonsuz bir grup oluþturuyor."
>
> Sonlu geometrileri disliyorsun bakiyorum.
> Ali
>
> -----Original Message-----
> From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
> [mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of E. Mehmet
> Kýral
> Sent: Friday, January 04, 2008 11:40 PM
> To: md-sorular
> Subject: [MD-sorular] Sonlu gruplarýn gerçek hayata uygulamasý var mýdýr?
>
> Ýlgi/tepki çekici bir baþlýk olsun istedim.
>
> Sorum aslýnda daha makul:
> Lisans boyunca cebir, bazen de gruplar kuramý, cebir dersi dýþýnda da
> karþýma çýktý. Örneðin analizde ya da bir tür geometride lineer cebir
> kuvvetle kullanýlýyor. Sadece bir dilde varolanlarý yeni bir dile
> aktarmak için deðil, cebirde yapýlardan özel durumumuzda bir sürü
> bilgiyi otomatikman elde etmek için de. Geometride Erlangen programý
> uyarýnca geometriler gruplarla özdeþleþtiriliyor, ancak burada da
> yapay olmayan geometriler dýþýnda bir geometrinin dönüþümleri hep
> sonsuz bir grup oluþturuyor. Sayýlar kuramýnda da cebir oldukça önemli
> bir yer teþkil ediyor. Ancak daha çok cisimler ya da halkalar. Salt
> grup teorisinden aklýma gelen tek örnek þu: eliptik eðrilerin
> üzerindeki rasyonel noktalarda deðiþmeli bir iþlem tanýmlanmýþtý ve
> böylece sonlu elemanla gerilen bir deðiþmeli grup elde edilmiþti.
> Buradan da hemen rasyonel noktalarýn o iþleme göre cebirsel yapýsý
> çýkmýþtý. Ancak yine mevzubahis genellikle sonsuz gruplar. (Üstelik
> sonlu elemanla gerilmiþ abelyen gruplarýn sýnýflantýrýlmasýna salt
> grup teorisi demek ne kadar doðru o da tartýþýlýr).
>
> Sonlu boyutlarýn eleman sayýlarýna göre yapýlan ince ince teoremlerin,
> sonlu gruplarýn sýnýflandýrýlmasý dýþýnda bir yerde kullanýmý var
> mýdýr?
>
> Karþýma þimdiye kadar hiç çýkmadýðý için sonlu grup teorisinin
> uygulamasý olmadýðýna karar getirecek kadar þuursuz deðilim. Sonlu, ya
> da sonlu indeksli gruplar hakkýnda cebir dersinde incelenen tüm
> ayrýntýlý teoremlerin eninde sonunda analizde ya da geometride bir
> þeyleri aydýnlatmasýný, buralarda bir çok yapý ortaya çýkarmasýný
> beklerim hatta. Þimdiye kadar karþýlaþmadým ve nerelerde karþýma
> çýkacak (mý?) diye soruyorum aslýnda.
>
> Bir de ikinci bir soru sorayým,
> Gerçek hayata uygulamasý olsun olmasýn, sonlu grup kuramýnýn
> arkasýndaki itici güç aslen gruplarýn sýnlandýrýlmasý mýdýr yoksa bu
> güç dýþarýda, ya da yine cebir içerisinde ama grup kuramý dýþýnda, bir
> yerlerde midir?
>
> --
> I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
> treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
> Science")
>
>

-- 
I suppose it is tempting, if the only tool you have is a hammer, to
treat everything as if it were a nail. (Abraham Maslow, "Psychology of
Science")
_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular

  _____  

Never miss a thing. Make Yahoo
<http://us.rd.yahoo.com/evt=51438/*http:/www.yahoo.com/r/hs>  your homepage.

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20080105/0c4cbef1/attachment.htm 