Re: [MD-sorular] yakınsaklık ve kompleks soruları (Toplu Yanıt)

[Ali ilik]

Sorularınızı tek bir mailde yanıtlıyorum. Sorularınızın tümü oldukça basit
ve salt tanımlara dayanıyor.

*Soru 1.* *"i^n dizisinin yakınsak olmadığını tahmin edebiliyorum .* *cunku
aldığı değerler -1,-i,1 ve i 'dir.*
*Ama matematiksel olarak nasıl ispatlayabilirim. "*
**
z_n=x_n+iy_n ve z_0=x_0+i_y0 olmak üzere, z_n dizisinin z_0 değerine
yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul, x_n->x_0, y_n->0 olmasıdır.

z_n=i^n=x_n+iy_n diyelim ki x_n ve y_n dizilerini ifade edelim.
z_n={1+0i, n=4k ise; 0+1i, n=4k+1 ise; -1+0i, n=4k+2 ise; 0+(-1)i, n=4k+3
ise
Buradan,
x_n= {1, n=4k ise; 0, n=4k+1 ise; -1, n=4k+2 ise; 0, n=4k+3 ise
y_n= {0, n=4k ise; 1, n=4k+1 ise; 0, n=4k+2 ise; -1, n=4k+3 ise
buluruz.
Açıkça görülüyor ki x_n ve y_n dizilerinin farklı yakınsak alt dizileri
vardır.
Halbuki bu durum x_n ve y_n dizilerinin yakınsak olmalarını engellemektedir.
O halde z_n dizimiz de yakınsak değildir.

*Soru 2.* *"karmasık fonksiyonların limitini nsıl bulabiliriz? örneğin; z n=
i-{[(-1)^n]/n } dizisinin limitini mat.olarak nasıl gösterebilirim?"*

Karmaşık *fonksiyonların* limitini *çok değişkenli* fonksiyonların
limitinden yararlanarak bulabiliriz. Yani,

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy, z_0=x_0+iy_0 olsun.

Bu durumda (z->z_0 için) lim f(z)'nin var olması için gerekli ve yeterli
koşul, (x->x_0 ve y->y_0 için) lim u(x,y) ve (x->x_0 ve y->y_0 için) lim
v(x,y)'nin var olmasıdır.

Bu halde,
(z->z_0 için) lim f(z)=
(x->x_0 ve y->y_0 için) lim u(x,y)+i (x->x_0 ve y->y_0 için) lim v(x,y)
eşitliği gerçeklenir.

z_n=i-{[(-1)^n]/n } bir karmaşık *dizi*dir. Bu dizinin limitini *karmaşık
dizilerin limitini bulmak için bilinen yöntemler*i kullanarak bulabiliriz.
(Bilinmeyen yöntemler de kullanılabilir.) Yani,
z_n=x_n+iy_n ve z_0=x_0+i_y0 olmak üzere, z_n dizisinin z_0 değerine
yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul, x_n->x_0, y_n->0 olmasıdır. Bu
durumda, limz_n=limx_n+ilimy_n=x_0+y_0=z_0'dır.

O halde,
z_n=i-{[(-1)^n]/n } ise x_n=-{[(-1)^n]/n } ve y_n =i'dir.
lim x_n ve limy_n mevcut ve değerleri de lim x_n=0 ve limy_n=i olduğundan,
limz_n=lim i-{[(-1)^n]/n } = limx_n+ilim_yn=0+i=i
buluruz. Demek ki dizimiz z_0=i karmaşık sayısına yakınsıyormuş.

(Bilindiği gibi dizilerle fonksiyonlar arasında bir ilişki vardır. Ve
dizilerin limitleriyle de fonksiyonların limitleri arasında bir ilişki
vardır...)

*Soru3.* *"f ,  A kümesi üzerinde anlitik ve g :A ----> C, g ( z  ) = f( z)
olarak tanımlanırsa g  ne zaman analitik olur? Ayrıntılı bir cevap
alabilirsem sevinirim.İyi günler"*
 f, analitikse Cauchy-Riemann eşitliklerini sağlar.
Yani, f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ise f'(z)=u_x+iv_x=v_y-iu_y olmalıdır. (1)
Aynısını f'nin eşleniği için, yani g için, yapalım:
g(z)=u(x,y)-iv(x,y)
g'(z)=u_x-iv_x=-v_y-iu_y olmalıdır.(2)

(1) ve (2)'den, u_x=v_y=-v_y ve v_x=-u_y=u_y buluruz.
Yani, u_x=v_y=0 ve dolayısıyla f'(z)=0, yani f(z)=c (sabit fonk.) olur.
Demek ki f ve f eşlenik analitikse f sabittir. Eşitliklerde ters yönde de
gidebilirdik.
O zaman f ve f eşlenik ancak ve ancak f sabit olduğu zaman analitik olurlar.

Hatta şöyle bir teorem verebiliriz:

*Teorem. f bir B bölgesinde analitik olsun. Aşağıdaki koşullardan herhangi
biri tüm z E B noktalarında sağlanırsa f, B'de sabit olur.*

1. f'(z)=0
2. Re f(z)=a (sabit)
3. Im f(z)=b (sabit)
4. | f | sabittir.
5. f'nin eşleniği analitiktir.
6. arg f=sabit
7. f(z) reel

Daha fazla ayrıntı için bkz: *Kompleks Fonksiyonlar Teorisi, Prof. Dr.
Turgut Başkan, Nobel Yayınları, Ankara 2005.*
**
*Bu kitap Uludağ Üniv. Mat. Bölümü'nde okutuluyor. Nefis bir kitap olduğunu
hiç tereddütsüz söyleyebilirim. Hatta öyle ki -tüm Türkçe kompleks
kitaplarını incelemedim ama- Bursa'daki kitapçılardaki incelediğim tüm
Türkçe kompleks kitapları arasında özellikle pedagojik açıdan diğerlerine
çok büyük bir fark atar. Dizgisi oldukça düzenli. Anlatımı sade ve derin
(...) MD'nin diline yaklaşan nefis anlatımları var yer yer. Kısacası, her
eve, kütüphaneye lazım. Prof. Dr. Turgut Başkan, Balıkesir ve Uludağ
Üniversitesi'nde öğretim üyeliği yaptı. Şu anda emekli ve torunlarına
baktığı bilgisine sahibim. Ton ton bir hocaymış. Hiç görmedim. Öğrencisi
Doç. Dr. Osman Bizim bize kompleks anlatıyor ve bu kitabı kullanıyor. Son
(5.) baskıdaki düzenlemeler de Osman Bizim'e ait. Rahatlıkla temin
edebilirsiniz.*
**
*Gerçekten maddi durumu olmayan ve kompleks analiz, matematik öğrenmek
isteyen ve bana 1 ay içerisinde mail atacak md-sorular üyeleri arasından
çekeceğim kurayla belirleyeceğim veya en ihtiyacı olan 3 kişiye bu kitaptan
kargoyla, ücretsiz olarak göndereceğim.*

Not: Yazarı Prof. Başkan, önsözde şöyle diyor:

"Bu kitabın hazırlanmasında özellikle 11 nolu kaynaktan fazlaca
etkilendiğimizi ve de daha iyisini ifade edemediğimizde, aynen almaktan
çekinmediğimizi açıkça belirtmeliyiz."

11 nolu kaynak şu:
"Marsden, J.E, Basic Complex Anaysis, W.H.F and Company, 1973."

04.05.2008 tarihinde berna <berna_k2007 at hotmail.com> yazmış:
>
>  *i^n dizisinin yakınsak olmadığını tahmin edebiliyorum .*
> *cunku aldığı değerler -1,-i,1 ve i 'dir.*
> *Ama matematiksel olarak nasıl ispatlayabilirim.  *
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://matematikdunyasi.org/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20080505/f12e2d5a/attachment.htm