[MD-sorular] küre ve silindir

[tibet efendi]

R^2 --> R^3
(x,y) |--> (cosx, sinx, y) 
göndermesi R^2 ile
görüntüsü arasında yerel bir diffeomorfidir.


x, (0,2pi) araliginda olsaydi o sonsuz uzunluktaki seriti silindirin etrafina bir kere sarmis olacaktik. Ama simdi bütün R^2'yi silindirin etrafina sonsuz kere sardik.
Bir kere sarsaydik, yani x'i (0,2pi) araligina hapsetseydik neredeyse harita olacakti. Ama (1,0,0) noktasindan gecen ve z eksenine paralel uzanan dogruyu karta dahil edememis olacaktik. Benim sorunum da buydu. 

Yani parametrizasyon demek illa birebir demek degilmis, ben bugün bunu anladim. Immersion olmasi yetiyor (ki lokal diffeomorfizm olsun.)

Ben anlamiyorum, Al silindiri eline, yaz üzerine 1,2,3,4 her noktaya bir numara. Al sana parametrizasyon. Hem de direkt dogal sayilardan. En temizi bu.
Ama adi matematik ya... illa her sey karmasik olacak. Sadece bir avuc insan anlayacak. Ben bu zihniyete karsiyim arkadas. 
Matematigi halka acalim, bu isler basitlessin artik.

Tibet


--- On Thu, 2/12/09, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
From: E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>
Subject: Re: [MD-sorular] küre ve silindir
To: tibetefendi at yahoo.com
Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Thursday, February 12, 2009, 3:42 PM

R^2 --> R^3
(x,y) |--> (cosx, sinx, y) 
göndermesi R^2 ile görüntüsü arasında yerel bir diffeomorfidir. Yani her bir (x,y) noktası etrafında öyle bir U komşuluğu bulabiliriz ki U ile f(U) aralarında diffeomorfiktir.


Parametrizasyondan kasıt bu olsa gerek.

Tek bir harita ise sonsuz silindirin atlasını yapmaya yetmeyecektir. Yani R^2 ile sonsuz silindir arasında bir diffeomorfizma yoktur. Olması, tüm topolojik yapılarının, değişmezlerinin aynı olması anlamına gelirdi. Sonsuz silindirin temel grubu (Z,+)'ya eşyapısalken, R^2'ninki tırışkadan (trivial).


Not: ilk kanıt bana doğru geliyor.

2009/2/13 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>


Bir küre icin türevlenebilir atlas yapmak gerekiyor.
Iki stereografik projeksiyonla bu mümkün. (Bunlarin türkcesi böyle mi emin degilim ama yaziyorum, konuyu bilenler neyi kastettigimi anlayacaklardir) Birinde isigi kuzey kutbuna digerinde güney kutbuna koyuyorum.


Bir küreye bir haritanin (chart) yetmediginin kaniti su:
Bir küre kompakt bir uzaydir. Bir harita mümkün olsaydi kürenin görüntü kümesi de kompakt olmak zorunda olurdu, cünkü sürekli olacak. O zaman görüntü kümesi acik küme olamazdi.


Bu kanit dogru mudur? Ben bir yanlis göremiyorum.

Ikinci sorum su. (Asil sormak istedigim soru bu)
R^3'te sonsuz uzunlukta bir silindirin (türevlenebilir) atlasini yapmak icin bir harita yeter mi? Bana yetmezmis gibi geliyor. Yetmedigini yukaridaki yöntemle kanitlayamiyorum cünkü silindir, küre gibi kompakt
 degil.
Bir harita mümkünse nasil mümkün? Mümkün degilse bunu nasil kanitlarim?

---

Cözmem gereken soru su: "Silindiri parametrize ediniz!"
Parametrize etmekten ne kastedildigini bilmiyorum. Bunun genel gecer bir tanimi var mi?

Sanirim bir harita istiyor. Yani hem immersion hem homöomorfizm olacak.

Eger parametrize etmekten kasit sadece immersion sa o zaman döndüre döndüre yaparim.
Yani silindirik koordinatlarla tam tur attiririm bir kere. Basladigim cizgiye de geri dönerim. Hatta 5 tur attiririm (daha garanti olur)

Ama sanirim kasit o degil. Yani birebir olmasi isteniyor (olsa gerek).

Tibet



      
_______________________________________________

MD-sorular e-posta listesi

sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular



-- 
Eren Mehmet Kıral





      
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090212/c8f8bfb4/attachment.htm