[MD-sorular] Kure yuzeydir: simülasyon?

[Ali ilik]

Tesekkur. Yarım küre projeksiyonunu bulamadık.

"Bu ekvator dahil olmayan yarim kürelerden en az kac tanesiyle küreyi
kapatiriz.
6'dan az. (Bence 4 yeter)
Cemberde düsünürsek 3 tane yarim cember (uc noktalari dahil degil) yetiyor."

Derste 6'dan suphelenip buna benzer bir soru sorduk: '6 yamadan bazıları
bazı yerleri fazladan ortuyor. Baska yamalarla ortemezmiyiz?' dedik.

Karpuzun üst yarısını atalım. Altı örttük. Şimdi üstü tekrar kapatalım ama
biraz sağ yapalım. Sol da bir yer açık kaldı. Oraya da yarım bir karpuz
yapıştıralım. Demek ki 3 yeter, 4 değil dedik. Ama bu yorumun hatalı
olduğunu gördük. Çünkü soldaki karpuzu kapattığımızda küre yüzeyinde iki
açık üçgen kalıyor. Dört tane dik karpuzla örteriz ama. Tabi yarım karpuzun
kenarlarının tavşanlar tarafından kemirildiğini varsayıyoruz ki açık küme
olsun.

4 yeter görüşünüze katılıyoruz ama tabii kanıt lazım.

Çember konusu... Orjin merkezli birim çemberi alalım. (-1, 0) ve (1,0) çap
uçlarını çıkaralım. (-r, r)'den R^2'ye (-r, r) -> UC={(x,y): xkare+ykare=1,
y büyük sıfır ve x de -1 ve 1'den farklı} göndermesini alalım. Bir de bunun
altını alalım. İki tane yamamız var. Ama Çap uçları hala açık. Şimdi bu çap
uçlarını örtmek için kalkıp da iki tane daha yama almak zorundayız. Bu
verimsiz birşey. Bunun yerine 3 yama ile örteriz. Alt çember dursun. Üstü
hafif sağa kaydıralım. Sonra da üçüncü yarıçemberi sola gömelim. Bunların
denklemlerini kolayca buluruz.

Yarıçemberi nasıl tanımlarız? Çemberi doğruyla, daha doğrusu, 0-çember olan
(-r, r) açık kümesiyle kesersek yarıçember buluruz. Burada yarıçemberi açık
küme olarak tanımladık. İki yarıçemberi birleştirince bir bütün çember
etmiyor ama haydi hayırlısı.

Yarıküre? Küreyi 1-çember olan daire ile (sınırları dahil olmayan) kesersek
yarı küre buluruz. Demek ki R^4'teki küreyi 2-küreyle (spheroid; bildiğimiz
küre) kesersek R^4'teki yarı küreyi buluruz.

Yani xkare+ykare+zkare+hkare=1 ile xkare+ykare+zkare=1'i keseceğiz. hkare=0
buluruz. n için de benzer mantık yaparız.

Çemberi örtmek için 3 yetti, küre için 4. n için de n+1 olabilir. Ama bunlar
hep faso fiso. Kanıt lazım kanıt.

Bu animasyon meselesinde asıl sorumuz şuydu: Bu yüzey adayı manifoldumuz
üzerindeki her p noktasının epsilon komşuluğu ile M manifoldumuzun
kesişimini kapsayan N_p. Neyse bir saniye. Defter yanımızda yok ama oradaki
tanımı satır satır yazmaya çalışalım hatırladığımız kadarıyla. Neyse şimdi
misafirlikteyiz de...

İşte o komşuluk olayını gösteren işte hani mesela yüzey olarak yanağı lalım.
İnsan yanağı. Ve yanaktaki bir noktanın komşuluğu da sivilce olsun.
Sivilcenin birazı içerde birazı dişerde. Bu gibi şeyler işte. Anlayan çok
iyí anladı.

Teşekkür.





22.02.2009 tarihinde tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com> yazmış:
>
>   animasyon: http://www.youtube.com/watch?v=JX3VmDgiFnY
> o kadar güzel ki bir bucuk milyon kisi izlemis.
>
> burada stereografik projeksiyon var. kutup noktasi eksik kaldigi icin iki
> tane gerekiyor bundan.
>
> youtube'da baska projeksiyonlar da var.
> 6 tane istedigine göre yarim küre projeksiyonu ariyorsun, o da var
> youtube'da.
>
> --
>
> Baska bir soru:
> Bu ekvator dahil olmayan yarim kürelerden en az kac tanesiyle küreyi
> kapatiriz.
> 6'dan az. (Bence 4 yeter)
> Cemberde düsünürsek 3 tane yarim cember (uc noktalari dahil degil) yetiyor.
>
> Genel olarak n boyutlu küre icin bu soruyu genellestirebilir miyiz? n
> boyutlu yarim kürenin tarifini nasil yapariz? Ve en az kac n-boyutlu
> (kenarsiz) yarim-küreyle n-boyutlu küreyi kapatabiliriz? Bunu hoca bize
> derste sordu, kimse bilemedi.
>
>
>
>
>
> --- On *Sun, 2/22/09, Ali ilik <aliilik at gmail.com>* wrote:
>
> From: Ali ilik <aliilik at gmail.com>
> Subject: [MD-sorular] Kure yuzeydir: simülasyon?
> To: "md" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Sunday, February 22, 2009, 5:59 AM
>
>  Kürenin yüzey olduğunu açıklamak için hazır simülasyon ya da böyle bir
> simülasyon için program önerisi olan var mı? 6 tane yamayı tek tek gösteren
> bir program.
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090222/f8f4b347/attachment.htm