[MD-sorular] süreklilik

[E. Mehmet Kıral]

Fonksiyonu nasıl yazdınız?

Siz fonksiyonun nasıl yazıldığını söylemeden, onun sürekli olduğunu
gösteremem. Ancak kendi tanımladığım makul bir homotopi ile göstermeye
çalışabilirim.

M, çokkatlımız (ya da herhangi bir topolojik uzay) ve x_0 \in M noktamız
olsun,
f : [0, 1] --> M, f(0) = f(1) = x_0 özelliğini sağlayan sürekli bir
fonksiyon.

g(t) = f(1-t) olarak tanımlayalım. Bu fonksiyon da aynı özellikleri sağlayan
bir döngüdür (loop).

f * g(t) = {f(2t), eğer 0 =< t =< 1/2 ise} ve {g(2t-1) = f(2-2t), eğer 1/2
=< t =< 1 ise}.

Şimdi F : [0,1] x [0,1] --> M,
F(t,s) = {f(2t - 2ts), eğer 0 =< t =< 1/2 ise} ve {f(2 - 2t - (2-2t)s) eğer
1/2 =< t =< 1 ise}
diye tanımlanmış olsun. Bu bir homotopidir ve F(t,0) = f * g(t) ila F(t,1) =
f(0) = x_0 eşitliklerini sağlar.

Homotopi olduğunu göstermek için sürekli olduğunu göstermem lazım. A=[0,1/2]
x [0,1] olsun.
F fonksiyonu A üzerinde iki sürekli fonksiyonun bileşimidir.
   A ------> R ------> M
(t,s) |--> 2t - 2ts --> f(2t - 2ts).
Dolayısıyla süreklidir.

Benzer şekilde B = [1/2, 1] x [0,1] kümesi üzerinde de süreklidir.
Dolayısıyla F fonksiyonu A \bileşim B = [0,1] x [0,1] üzerinde süreklidir.



2009/1/26 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>

> tesekkür,
> Evet matematik bölümünün ilk döneminde ögrenmem gereken seyi hala
> bilmiyormusum.
> Kanitlamaya calistim kanitlayamadim bir türlü de.
> Cok da cins bir fonksiyonmus bu, bu fonksiyon yasaklansin! Olmaz olsun
> böyle fonksiyon.
>
> Bu soru nereden karsima cikti onu söyleyeyim. Cünkü bu durumda o soruyu
> cözemiyorum.
> Fundamental group diye bir sey. Bir takim lastikler gerdirilip
> cektirilerek (homotopi bu islemin adi) birbirlerine dönüstürülebiliyorsa
> bunlar birbirine denk oluyor. bu denklik siniflari ucuca ekleme islemine
> ile birlikte bir grup olusturuyorlar.
>
> Grup olusturduklarini kanitlamam gerekiyor.
>
> -Önce o uc uca ekleme isleminin denklik siniflari üzerinde iyi tanimli
> oldugunu yani siniftan sectigimiz lastikten bagimsiz oldugunu gösterdim.
> -sonra parantezsiz yazilabiliecegini gösterdim. (assoc.)
> -sonra birim eleman buldum. nokta seklinde bir yolun denklik sinifini birim
> eleman yapiyorsunuz. Bunlari gösterirken hep homotopilerle gösteriyoruz.
> Diyoruz ki: bu isi iste bu homotopi yapiyor.
> -sonra da her elemanin tersinin varligini göstermem gerekiyor. sorun
> burada:
> bana bir lastik verilmis olsun, o lastigin baslangic ve bitis noktasini
> degistirip geri geri gidenini elde edersem o onun ters elemani.
> yani bu ikisini uc uca ekledigimde cekistirerek bunlari bir noktaya
> dönüstürebiliyorum.
> yani lastik f(t) ise ters eleman f(1-t) oluyor. (lastikler [0,1] aralginda
> tanimli hep)
> SORUN SURADA: bu rastgele bana verilen lastigi aldim. tersi oldugunu iddia
> ettigim lastigi ucuna ekledim. sonra da bunlari yollari boyunca böyle
> cekistiriyorum. Yani nasil görünüyor?
> böyle bir delige giren yilanin delikten disarida olan kisminin yaptigi
> harekete benziyor.
>
> bunu yapan homotopi [0,1]x[0,1]'den X'e bir fonksiyon. Fonksiyonu yazdim,
> sürekli oldugunu gösteremiyorum. ilk degisken sabitken ikincide sürekli,
> ikinci degisken sabitken ilkinde sürekli. ama ikisi birden deigisince
> sürekli mi degil mi nereden bilecegiz?
>
> kötü anlattim, ama konuyu bilen derdimi anlamistir kesin.
>
> Tibet
>
> --- On *Sun, 1/25/09, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>* wrote:
>
> From: E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>
> Subject: Re: [MD-sorular] süreklilik
> To: tibetefendi at yahoo.com
> Cc: "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
> Date: Sunday, January 25, 2009, 4:46 PM
>
>
> Hayır, f(x,y) = xy/(x^2 + y^2) bir karşıörnek oluşturuyor.
>
> Ancak bahsettiğiniz türde bir fonksiyon Borel-ölçülebilir olmak zorundadır.
>
> 2009/1/26 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
>
>> basit bir sorum var.
>>
>> R^2 den R'ye bir fonksiyonum var.
>>
>> f(x,y)= x'li y'li bir sey.
>>
>> herhangi bir x icin x'i sabit tuttugumda y'ye bagli fonksiyonlarin hepsi
>> sürekliyse.
>> ayni sekilde y'yi sabit tutup baktigimda x'in fonskiyonu olarak f sürekli
>> oluyorsa.
>>
>> bu f fonksiyonuna R^2 de sürekli diyebilir miyim?
>>
>>
>> _______________________________________________
>> MD-sorular e-posta listesi
>> sorular at matematikdunyasi.org
>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>
>
>
>
> --
> Eren Mehmet Kıral
>
>
>


-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090126/d694e9e7/attachment.htm