[MD-sorular] Yine Faktöriyel

[berat okutan]

Yazılan maillere bakıldığında, sislerin matematikte değil sizde olduğunu düşünüyorum :). Ya da ben anlatmak istediğinizi anlayamadım. Bildiğiniz birçok şeyi gözden kaçırdığınızı düşünürek tekrar yazıp, duruma açıklık getirmeye çalışacağım.

(-1/2)!=Kök(pi) eşitliğini, "Gamma (n+1)=n! n elemandır N veya n=0" eşitliğini kullanmadan ispatlanmasını istemişsiniz.

Bir teoremi ispatlamak için, önce teoremde geçen her kavramın (ya da terimin) tanımlı olması lazım.
Kök(pi) ve = 'in ne olduğu konusunda hiçbir tartışma yok zaten.
Sorun (-1/2)! in ne olduğunda çıkıyor.

Bizim bildiğimiz faktoriyel fonksiyonu doğal sayılarda ve 0'da tanımlı. Demek ki bu başka bir faktoriyel fonksiyonu. Çünkü bir fonksiyonu tanım kümesi, varış kümesi, ve bu iki küme arasında yaptığı eşleşmeler belirler.
Okuduğumuz kaynaklardan görüyoruz ki, bildiğimiz doğal sayılarda tanımlı faktöriyel fonksiyonunu, "karmaşık sayılar/ negatif tam sayılar" da analitik olarak genişleten bir fonksiyon var (bu koşulları sağlayan tek fonksiyon bu mudur bilmiyorum). Bu fonksiyonun elde edilişi şöyle:

Gamma fonksiyonunu, integral ile, gerçel kısmı 0'dan büyük karmaşık sayılar için tanımladık. Sonra analitik devam uygulayarak, "karmaşık sayılar/(negatif tamsayılar ve 0)" da analitik olacak şekilde genişlettik. Genişlettiğimiz için, bu fonksiyona da gamma adını verdik. Sonra baktık ki, "karmaşık sayılar/(negatif tam sayılar)" da tanımlayabildiğimiz Gamma (z+1) fonksiyonu, doğal sayılarda ve 0'da tanımlı olan faktoriyel fonksiyonunu genişletiyor. İşte bu genişletmeden dolayı ona da faktoriyel (!) adını verdik. Artık "Karmaşık Sayılar/Negatif tam sayılar" da tanımlı bir faktöriyel fonksiyonumuz var.

Gördüğünüz gibi, faktöriyel fonksiyonunu, genişletebilecek uygun bir yolla, yani kompleks sayılarda "meromorphic" olacak şekilde genişlettik. Evet dediğiniz gibi, bu şekilde negatif tamsayıların faktöriyeli tanımlı olmuyor, ama negatif tamsayılar dışında tüm karmaşık sayılar için tanımlı.

Bir çok kitapta ve bu maillerde bahsi geçen linklerde bu faktöriyel fonksiyonu kullanılıyor. Aslında bütün matematiksel kavramların böyle olduğunu hatırlatmak isterim.

Neden faktöriyelin tanımının böyle olduğunu tartışsak, (sunabiliyorsak) başka tanım önerileri sunsak daha verimli bir tartışma olurdu düşüncesindeyim. 

Umarım yardımcı olabilmişimdir.

Date: Tue, 12 May 2009 13:56:23 +0300
From: dede_47 at mynet.com
To: cem.kocagil at gmail.com
CC: md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: [MD-sorular] Yine Faktöriyel

Sayın Kocagil;

Yanıt vermeyecektim artık,ancak son yazdıklarınızda ki "açık"

bazı noktaları açıklamalıyım:

1-MATLAP, MAPLE veya MATHCAD  kullanıyorsanız onların herhangi
birine

Gama foksiyonunun Tümlev tanımını,daha sonrada çıplak

Gamma fonksiyonunu yazın.İkisindeki değişken yerine de gerçel kısmı

negatif olan herhangi bir gerçel/sanal sayı yazın ve hesaplatın:Tümlevin
sonucu olarak,

program şunu yazacaktır:"Integral not converges as bounded..", çıplak
yazdığınız 

Gamma fonksiyonunda ise bir çıktı görürsünüz.Neden gammanın Tümlev tanımı
için

"Tümlev yakınsamıyor.." yazdığı halde diğeri bir değer vermiştir?
Şundan:Gamma

fonksiyonunun seriye açılımı programda var,bundan dolayı sonuç verir,

ama tümlev vermez.(Siz de tümlevi yakınsaklık aralığında seriye açıp,

yaklaşık bir sonuç bulabilirsiniz;ama bu eksi sayıların faktöryeli
olduğunu göstermez.)

Bu halde Gamma(n+1)=n! eşitliği
eksi sayılarda ne oldu?

2-İlk başta "bu bir tanımdır,kanıtı olmaz" deseydiniz,belki daha kolay
anlaşırdık.

Ben;siyahladığım eşitlik kullanılmadan
(-1/2)!=Kök(pi) nin nasıl kanıtlandığını

sormuştum;bu kadar basit!Anlaşılmayacak ne var ki.."Bu bir tanımdır"
sözünüze ise;

"Tanımdan kanıtlamak istediğimiz eşitlik nasıl bulunmaktadır?" itirazını
yapabilirim..

Öyleki:Faktöryelin tümlev tanımı eksi sayılarda tanımsız (sonsuz);

tamsayılar için yapılmış tanımı kullanamıyoruz ...E, nereden çıktı

eksi sayıların faktöriyeli o zaman? Tanım kümesini, sanal sayılara
"genişlettik"

diyelim:Bu halde,tümlev tanım belirsiz;tamsayı tanım
kullanışsız!Genişletmenizden nasıl negatif sayıların

faktöryeli çıktı?Eğer "analitik devam" dan bu sonuca varırsanız,

oda tüm negatif sayılara tanımınızı genişletmeye müsaade etmez!Şu halde;

 pozitif tamsayılarda doğru
olan, Gamma(n+1)=n! eşitliğini,
bu  "genişletme" 

 sonucu kullanabileceksek,sanal sayılarında faktöryeli tanımlı
demektir.

Gamma(1+a+bi)=(a+bi)! doğru demek ki(?!)

Örneğin, Gamma(-2/3+i)=(-5/3+i)!= -0.423237 + 0.107448i demektir.

Bu tartışmadan şu sonuca vardım:Sorduğum soru  matematiğin "sisleri"
arkasında

gibidir...

Saygılarımla

A.Kadir Değirmencioğlu




_________________________________________________________________
More than messages–check out the rest of the Windows Live™.
http://www.microsoft.com/windows/windowslive/
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090512/acacd65d/attachment.htm