[MD-sorular] olaslk sorusu
tibetefendi at yahoo.com
tibetefendi at yahoo.com
17 Mays 2009 Paz 14:26:45 EEST
Ölcülebilir olmasini istedigimiz kümelerin bilesimi seklinde ifade edilebilen, ama uydurdugumuz yöntemle ölcemedigimiz bir küme:
Bizim kurdugumuz sisteme göre bütün sinirli araliklarin ölcüsü sifir olmali dedik. Simdi sinirli araliklarla bir küme insa edecegiz:
(-a,a) araliginin icinde (-a1,a1) araligini secelim, öyle ki ikinci sectigimiz birincinin yarisi uzunlugunda olsun.
simdi a'dan büyük öyle bir b bulabiliriz ki, a ile b arasinda bir b1 noktasi icin (-a1,a1) U (-b1, -a) U (a,b1) in ölcümü bütün (-b,b) uzunlugunun ücte biri olsun.
simdi b den büyük öyle bir c bulabiliriz ki b ile c arasinda bir c1 noktasi icin (-a1,a1) U (-b1, -a) U (a,b1) U (-c1,-b) U (b, c1) in uzunlugu bütün (-c,c) araliginin yarisi olsun.
...
..bu sekilde yarisi, ücte biri, yarisi, ücte biri olacak sekilde devam ediyoruz.
. (cizerek görmek kolay bunu)
ne yaptik? X = (-a1,a1) U (-b1, -a) U (a,b1) U (-c1,-b) U (b, c1) U (-d1, -c) U (c, d1) U .....
seklinde ölcülebilir kümelerden (yani kurdugumuz yeni sistemde ölcüsünün sifir olmasini istedigimiz kümelerden) yeni bir küme olusturduk. Bu kümenin yeni sistemde ölcüsünü bulamiyoruz, cünkü 1/2,1/3,1/2,1/3,1/2,..... dizisi yakinsamiyor. Bir dizinini herhangi bir altdizisi yakinsamiyorsa kendisi de yakinsamiyordur. Dolayisiyla istedigimiz limit yok, bu kümeyi ölcemiyoruz. ama bu küme ölcülebilir ilan ettigimiz sinirli araliklarin sayilabilir bilesimi seklinde ifade edilebiliyor.
Demek ki bir sigma-cebiri kuramiyoruz bu sekilde.
Yukaridaki insaat, a,b,c,d,e... sayilari dogal sayilardan secilecek sekilde yapilabiliyor.
Yani Measure_n(X)'in bir altdizisinin 1/2,1/3,1/2,1/3,1/2,..... oldugunu göstermis oluyoruz.
tibet
--- On Sun, 5/17/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:
From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: RE: [MD-sorular] olasılık sorusu
To: "'tibet efendi'" <tibetefendi at yahoo.com>
Date: Sunday, May 17, 2009, 4:27 AM
“Sayilabilir coklukta ölcülebilir kümenin
bilesimi yine ölcülebilir olmalidir. Iste bu bozuluyor. Yani o garip hareketler
yapan X kümesini bizim ölcülebilir olarak ilan ettigimiz araliklarin
sayilabilir bilesimi seklinde yazabiliriz. Ama ortaya cikan sey ölcülemez
oluyor.”
Sanmiyorum.
A.
From: tibet efendi
[mailto:tibetefendi at yahoo.com]
Sent: Sunday, May 17, 2009 1:17 PM
To: Ali Nesin; Matematik Dunyasi
Subject: RE: [MD-sorular] olasılık
sorusu
“Simdi isin garip yani surada: Bu dizi bir sayiya
yakinsamak zorunda degil. Sectigimiz X kümesi sacma sapan hareketler yapiyor,
bu yüzden de n sonsuza giderken X kümesinin n'ye bagli olan ihtimalleri
yakinsamiyor olabilir. Iste düsündügümüz seyin iyi tanimli olmamasinin sebebi
de bu.”
Bu durumda “X kumesinin
olcumu/olasiligi yoktur” denir.
Her altkumenin
olcumunun oldugu ve bazi donusumler altinda olcumun degismedigi bir olcumun
olmadigi biliniyor bildgim kadariyla.
A.
Evet ama söyle bir durum var. Bir olasilik uzayindan bahsediyorsak
ortada bir sigma cebiri olmali. (misal borel-sigma cebiri) Bu sigma cebirinin
elemanlarina ölcülebilir eleman denir.
Sigma cebirinin de olayi su: Sayilabilir coklukta ölcülebilir
kümenin bilesimi yine ölcülebilir olmalidir. Iste bu bozuluyor. Yani o garip
hareketler yapan X kümesini bizim ölcülebilir olarak ilan ettigimiz
araliklarin sayilabilir bilesimi seklinde yazabiliriz. Ama ortaya cikan sey
ölcülemez oluyor.
Mantikli cözümü benim önceki mailde dedigim gibi (mora boyadigim
sekilde) sorunun sorulusunu degistirmek.
Yani bütün R üzerinde uniform dagilim diye bir sey olmadigindan "reel sayilardan restgele sayi secmek" yanlis
bir laf. Dedigimiz yöntemle de bu lafi matematiksel temele oturtacak bir
olasilik uzayi (ya da rastlanti uzay, her ne ise türkcesi) insa edemiyoruz.
Ben de ederiz sanmistim ama olmuyor.
tibet
--- On Sun, 5/17/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
wrote:
From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: RE: [MD-sorular] olasılık sorusu
To: "'tibet efendi'" <tibetefendi at yahoo.com>,
"'Matematik Dunyasi'" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Sunday, May 17, 2009, 1:41 AM
“Simdi isin garip
yani surada: Bu dizi bir sayiya yakinsamak zorunda degil. Sectigimiz X kümesi
sacma sapan hareketler yapiyor, bu yüzden de n sonsuza giderken X kümesinin
n'ye bagli olan ihtimalleri yakinsamiyor olabilir. Iste düsündügümüz seyin
iyi tanimli olmamasinin sebebi de bu.”
Bu durumda “X kumesinin olcumu/olasiligi yoktur” denir.
Her altkumenin olcumunun oldugu ve bazi donusumler altinda
olcumun degismedigi bir olcumun olmadigi biliniyor bildgim kadariyla.
A.
From: md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org
[mailto:md-sorular-bounces at matematikdunyasi.org] On Behalf Of tibet efendi
Sent: Sunday, May 17, 2009 5:24
AM
To: Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular]
olasılık sorusu
Sanirim
Kerem hakli.
Yani reel sayilarda esit dagilim tanimlayamayiz ki rastgele bir tercihten
bahsedelim.
Dolayisiyla "reel sayilardan rastgele bir sayi seciyoruz" cümlesi
yanlis. Reel sayilardan rastgele bir sayi secemeyiz.
Reel sayilardan bir sayi secebiliriz. Ama rastgele secemeyiz. Rastgelenin
matematiksel tanimi esit dagilim. O da bütün R üzerinde yok.
Diger yandan Ali Nesin'in dedigi seyi düsünmüstüm ben de aynen.
(-n,n) üzerindeki esit dagilima bakariz. Bir X kümesini onunla kesistirip
esit dagilimdaki ihtimaline bakariz.
Sonra n sonsuza giderken bu ihtimal nereye gidiyor ona bakariz.
Simdi isin garip yani surada: Bu dizi bir
sayiya yakinsamak zorunda degil. Sectigimiz X kümesi sacma sapan hareketler
yapiyor, bu yüzden de n sonsuza giderken X kümesinin n'ye bagli olan ihtimalleri
yakinsamiyor olabilir. Iste düsündügümüz seyin iyi tanimli olmamasinin
sebebi de bu.
Tabi benim cevap verdigim soruda o trigonometrik fonksiyonlarin
kesisim noktalari periyodik oldugu icin, örnek verdigim kümeler de hep
periyodik oldugu icin gözümüze pek batmadi bu iyi tanimli olmama durumu.
Bu durumda sorunun sorulus seklini deigistirirsek sorun cözülüyor.
Soruda
denmeli ki: (-n,n) araliginda rastgele bir aralik secsek bu aralikta cift
sayida kesisim noktasi olmasi ihtimali, n sonsuza giderken ne olur.
Bu sekilde hic bir sorun kalmiyor.
tibet
--- On Sat, 5/16/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
wrote:
From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: RE: [MD-sorular] olasılık sorusu
To: "'Kerem Altun'" <kerem.altun at gmail.com>
Cc: tibetefendi at yahoo.com, "'Matematik Dunyasi'"
<md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Saturday, May 16, 2009, 5:33 PM
Bu benim de konum degil ama soyle yaparsak
olmuyor mu?
X, R’nin bir altkumesi olsun.
Measure_n(X) = Measure(X kesisim (-n, n)) /
2n olsun.
Measure X de simdi bu sayilarin n sonsuza
giderken limiti olsun.
A.
From: Kerem Altun
[mailto:kerem.altun at gmail.com]
Sent: Sunday, May 17, 2009
1:48 AM
To: Ali Nesin
Cc: tibetefendi at yahoo.com;
Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular]
olasılık sorusu
Hocam aslinda
bu yazdiginizin (-n,n) araliginda olasiligi hesaplayip n'yi sonsuza
goturmekten pek farki yok gibi gorunuyor. Matematik bilgimi cok zorlayarak
baska bir iddiada bulunacagim, tamamen sacmaliyor da olabilirim tabii ama:
yani ornek uzay reel sayilar ise, bu kumenin Borel sigma algebra'si
uzerinde hem olasilik aksiyomlarini saglayacak hem de Lebesgue olcumu
olacak bir olcum tanimlamak olanaksizdir diye dusunuyorum. Tibet efendi'nin
sorusuyla alakasi ile soyle ki, reel sayilarda rasgele bir aralik zaten secilemeyeceginden,
bu aralikta kac tamsayi vardir sorusu da anlamsiz oluyor.
Bir matematikci boyle birsey sorduguna gore esasinda muhtemelen benim
dedigim yanlistir, ama bu dediklerimin neresinin yanlis oldugunu
soyleyebilecek birisi var midir?
Kerem
2009/5/17
Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
O zaman n uzunlugunda bir aralik icin
olasiligi hesapla, sonra n’yi sonsuza gotur.
A.
-------------- sonraki blm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090517/8dcac500/attachment.htm
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi