[MD-sorular] BR KANIT DAHA
tibet efendi
tibetefendi at yahoo.com
23 Mays 2009 Cmt 13:38:59 EEST
evet evet,
ben de onu anlatmaya calisiyordum,
bir toplam "varsa" ki virgülden sonrasi sonsuza kadar uzayip giden ondalik gösterimlerin temsil ettigi diziler Cauchy dizileri oldugu icin bir toplam olmak zorundadir, bu tür gösterimler o sayiyi temsil ederler.
Biz gecen sene analiz dersinde R'yi Q'dan hareketle Cauchy dizilerinin limitlerinin denklik siniflari olarak kurmadik. Dogrudan aksiyomatik olarak tanimladik. "Cauchy dizileri R'de yakinsar" da bu aksiyomlardan biriydi. O yüzden ben senin düsündügünün "tersi istikamette" düsünüp ayni sonuca variyorum.
5 gün önce bir mail atmistim. Onu bir daha kopyaliyorum buraya:
ben 0,999.. 'u
9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... diye kiden sonsuz toplam(in limiti)
olarak tanimlardim.
en dogali bu.
ondalik gösterimin tanimiyla örtüsüyor cünkü.
Neyse.. bu limit var ve 1.
Sadece bu limit degil bu sekilde olusturdugunuz virgülden sonrasi sonsuz uzunlukta olan her seyin limiti var. Söyle ki:
yukaridaki yöntemle
örnegin 1,2345678901234568790123.... gibi veya
222,333444555666777
gibi kafaniza göre belirlediginiz bir kuralla sonsuza kadar uzayip
giden gösterimleri kesirlerin sonsuz toplami olarak
tanimlayabilirsiniz. (Sonsuz toplam dedigim sey bir dizidir, dizileri
bildigimizi varsayiyiorum. MD'de islenmisti.)
Bu yukaridakiler rasyonel sayi ama örnegin söyle bir sey:
0.122333444455555666666...(bu sekilde her rakam degistirdiginizde o rakami bir
önceki rakami yazdiginizdan bir adet fazla yazacaksiniz.)
Bu sonuncusu irrasyonel.
Herneyse böyle sonsuza uzatip durdugunuz ondalik gösterimleri mailin ikinci satirindaki gibi paydasi 10'un üsleri olan kesirlerin sonsuz toplami olarak
tanimlayabilirsiniz. Bunlarin hepsinin limiti vardir. Cünkü bunlarin
ilk n terimlerinin toplami a(n) olacak sekilde tanimladiginiz (a(n))
dizileri Cauchy dizileridir ve reel sayilarda yakinsarlar. (converge eylemek.)
Bunlarin limitleri rasyonel de olabilir irrasyonel de.
Bunlar diverge eylemezler :)
Bunu böyle tanimladiktan sonra 0,999... 'un 1'e esit oldugu sonucu dogrudan cikiyor zaten.
Ama istege bagli olarak binbir atraksiyon yapilabilir.
tibet
--- On Sat, 5/23/09, E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com> wrote:
From: E. Mehmet Kıral <luzumi at gmail.com>
Subject: Re: [MD-sorular] BİR KANIT DAHA
To: "tibet efendi" <tibetefendi at yahoo.com>
Cc: "Ali Nesin" <nesin at bilgi.edu.tr>, "Matematik Dunyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Saturday, May 23, 2009, 2:04 AM
Tibet Efendi'ye:
Diyelim ki çok biçimsel bir bakış açısından bakıyoruz, elimizde Q var ve Cauchy dizileri yardımıyla R'yi oluşturacağız. 0,99999... diye yazdığımız sayı hem seriyi (yani kısmi toplmamlardan oluşan diziyi) hem de serinin toplamını ifade etmiyor. Daha henüz serinin toplamı diye bir sayı yok elimizde (aslında bu durumda var çünkü "toplam" şansımıza 1 rasyonel sayısı). Ama tüm gerçel sayıları oluşturacağımızdan böyle bir tanım yapamayız. O yüzden R'yi Q'dan oluştururken bir sayı olarak mecburen (0, 0.9, 0.99, 0.999, ...) dizisini düşünmek zorundayız, onun toplamını değil. Hatta bu da yanlış çünkü tek başına (0, 0.9, 0.99, 0.999, ...) dizisini değil, tanımlanmış bir denklik ilişkisi içerisinde bu dizilerin denklik sınıfını bir sayı olarak tanımlıyoruz. Bu durumda (1,1,1,1,1,....) dizisi ile (0, 0.9, 0.99, 0.999, ...) dizisi aynı denklilk sınıfındalar. Dolayısıyla eğer denklik
sınıfı temsilcileri ile sayıları temsil ediyorsak, aynı gerçel sayıyı temsil ederler.
Dedekind kesitlerinden de benzer bir sonuç elde etmemiz lazım. Ancak 0.99999... yazılımı o yaklaşıma uygun değil herhalde, beceremedim.
Ali Nesin'e:
Kuraklığı hiç düşünmemiştim, demek ki bazı yerlere de gereğinden fazla yağıyor, sel oluyor.
Diğer hepsine katılmakla beraber (gerçi dağların denize dik ya da paralel olmasında anlaşılmayacak ne var anlamadım)
x + y = y + x eşitliğini ezberden ya da en hafifi iknadan başka öğretim biçimi düşünemiyorum.
2009/5/23 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>
Aslina bakarsaniz
9/10+9/100+9/1000+....
sonsuz toplami baska sey bu toplamin limiti baska bir sey.
Analizde ikisini de ayni gösterimle ifade ediyoruz.
Yani bu toplami bu sekilde (ya da sigmali) yazdigimizda bu gösterimle hem seriyi (yani parcali toplamlardan olusan diziyi) hem de bu dizinin limitini kastediyoruz.
Analiz kitaplarinda da bu ayrim vurgulanir. Ben üc ayri analiz kitabinda buna dikkat cekildigine rast geldim.
0,999... da ayni sekilde bu seriyi ve limitini ayni anda ifade ediyor olsa gerek.
Bu bir anlasmadir ama sonucta..
bu arada bize daglar kiyiya paralel (ya da dik) "uzanir" diye ezberletmislerdi.
Ben de seyi hic anlamazdim. "Istanbul yedi tepe üzerine kuruludur." Ne demek?
bana böyle yedi tepe ayak olacak sekilde üzerinde tabak gibi bir sey var da onun üzerinde Istanbul var gibi bir seyler
cagristirirdi.
Egitimin beyin yikama mekanizmasi oldugu su götürmez bir gercek. Asil tehlikeli olan insanlara devlet ideolojisinin asilanmaya calisilmasi. Milli egitim bakanliginin cografya, tarih, vatandaslik bilgisi gibi kitaplarinin icinde yazan bir cok sey, insanlik sucu kapsaminda ele alinabilecek seyler.
--- On Fri, 5/22/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:
From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Subject: Re: [MD-sorular] BİR KANIT DAHA
To: "'Kerem Altun'" <kerem.altun at gmail.com>, "'Ali Nesin'" <anesin at bilgi.edu.tr>
Cc: "'dede'" <dede_47 at mynet.com>, md-sorular at matematikdunyasi.org
Date: Friday, May 22, 2009, 3:34 PM
Kerem,
Daha once de yazmistim ama bir defa daha
yazayim: Bu kadar cok kisinin 0,9999… sayisinin 1’e esit olduguna inanmamasi
bir rastlanti olamaz.
Bu kisiler dogal olarak matematigin
inceliklerini bilmeyen kisiler.
Matematik bilmediklerinden sezgileriyle
hareket ediyorlar.
Sezgiler onemlidir diyorsun. Dogru. Ama
sezgi neyi soyluyor?
Galiba sezgi gercekten 0,9999.. sayisinin
1’den kucuk oldugunu soyluyor.
Belki de sezgi denen sey kisiden kisiye,
daha dogrusu egitimden egitime degisiyor.
A.
From: Kerem Altun
[mailto:kerem.altun at gmail.com]
Sent: Friday, May 22, 2009 11:50
PM
To: Ali Nesin
Cc: dede;
md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] BİR
KANIT DAHA
0.999... = 1 esitliginin
dogrulugunu sorgulayan arguman olarak zaten simdiye kadar yalnizca 999... =
1000... esitliginin saglanmadigi gibi bir arguman one suruldu bu listede.
"Uc nokta" nin ne manaya geldigi konusunda fikir birligine varmadan
zaten bu sorunun tartisilmasi yanlis.
Ama anlatmak istedigim konu bu degil. Matematiksel bir ifadeye kafam yatmiyorsa
kanitini bekleyen ve/veya inceleyen insanlardanim. Belki biraz da haddimi
asacagim ama, 0.999... = 1 esitliginin neyi ima ettigini tahmin etmeden, bir
bakista yanlis olduguna hukmedecek birinin matematik yapmasi durumunda cok
basarili olacagina inanmiyorum. Matematikciler ne derse desin, mekanik kanitlardan
cok insanlarin sezgileri onemlidir diye dusunuyorum. Cunku zaten matematik o
sezgiler dogru olsun diye icat ediliyor (kesfediliyor diyen de cikabilir, ama
bence icat ediliyor). 0.999... = 1 esitliginin matematiksel kanitini anlamaya
calismak yerine bu esitlikten suphe duyan ve aksini kanitlamaya calisan bir
insanin matematikte basarili olamayacagini dusunuyorum.
Listeyle de paylasayim dedim. Matematikcilerin tepki vermesi normaldir belki,
ama dusuncem boyledir.
Kerem
2009/5/22 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>
Ilkokulda, ortaokulda ve lisede ve halen bugun, Mustafa
Kemal’in son taaruz oncesi ordularina, “Ordular, ilk hedefiniz Akdeniz’dir”
dedigi ogretilir. Ardindan da ordularin Akdeniz’e degil Izmir’e, yani Ege’ye
ciktigini ogreniriz.
Hicbir ogrenci ne oluyor burada? Ordular adres mi sasirdi,
yoksa Mustafa Kemal Ege demek istemisken yanlislikla dili surctu de Akdeniz mi
dedi diye sormaz.
Oyle olmustur, oyle soylenmistir, sorgulamayiz.
Ben de sorgulamadim dogal olarak.
Bir de denizde ufuktan bir yelkenli geldiginde once direginin
tepesindeki bayraginin gorundugu, ardindan diregin, sonra yavas yavas teknenin
gorundugu soylenir… Hayatimda hic boyle bir sey gormedim. Goreni de tanimadim!
Kurakligin kuresel isinmadan kaynaklandigi soylenildi
surekli. Inandik. Peki, kuresel isinma oldugunda daha fazla su buharlasmaz mi?
Bu buhar nereye gidiyor? Belki de ozon deliginden kaciyordur!
Cemberin uzunlugunun 2pi x r oldugu, alaninin pi x r^2 oldugu
oylesine israrla ogretildi ki hicbirimiz neden bu formul, nerden cikti, nedir
bu pi diye sormadi bile.
Kok 2’nin “varligi” da oyle ogretildi.
Cunku virgulden sonra sonsuza kadar gidebilirdik. Gitmezdik
ama gidebilirdik!
Hatta kok 2’nin kok 2’nci ussunu alabilecegimize inandik, ne
demek oldugunu bilmeden.
Dogrularin paralel olabilecegine de…
Sayilarin x + y = y + x esitligini sagladigini da
inandirdilar… Kabul etmek gerekir ki cok maharetliler.
Dunyanin gunesin etrafinda dondugune de… Ne demekse! Oysa bir
nesne digerinin etrafinda donuyorsa, donen nesneyi sabit kabul edersen, bu
sefer digeri onun etrafinda doner!
Ben daglarin denize dik inmesinin ne demek oldugunu hic
anlamamistim. (Bu sefer kendi icimde sorgulamistim en azindan!) Yakin zamanda
ogrendim! Ama olguyu biliyordum tabii: Ege’de (galiba!) daglar denize dik iner.
1/3’un 0,33333…’e esit oldugu da benzer bir ornektir. Oysa
0,3333…’un 1/3’ten kucuk oldugu nerdeyse bariz!
Her gecen gun egitimin beyin yikamadan baksa bir sey olmadigina
ikna oluyorum.
A.
(Not: Ege sozcugu lugatimiza daha sonra girmis. O zamanlar
Akdeniz denirmis…)
-----Inline Attachment Follows-----
_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
--
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki blm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090523/ae96c281/attachment.htm
MD-sorular mesaj listesiyle ilgili
daha fazla bilgi