[MD-sorular] BİR KANIT DAHA

26 Mayıs 2009 Sal 01:42:40 EEST

1) "Daglar denize dik" denince, benim aklima daglarin denize dik indigi,
yani deniz kiyisinda ucurumlar oldugu aklima gelirdi.

"Daglarin denize paralel oldugu" ise daglarin denize dogru giderek
alcaldigi, bir zaman sonra denize teget olduklarini dusundurturdu...

Haritalar ve gercek bu dusuncemi yalanlardi ama ne care, baska turlu
yorumlayamazdim.

2) x + y = y + x esitligini ezberletmeye bile gerek yok. Cok bariz! Ama
egitimin belli bir asamasinda bariz kabul ettigimiz bu tur esitliklerin
kanitlanmasi ya da aksiyom olarak kabul edilmesi gerektigi ogrencilere
anlatilmali. Hayata heyecan katar ve hayati daha anlamli kilar! Felsefi
sonuclari vardir. Hayata bakisi degistirir. Daha da onemlisi ogrenciye saygi
duyan bir yaklasimdir. Egitim sistemimizin en buyuk sorunu da bu: Genclere
saygi duymamasi, onlara ve zekalarina guvenmemesi.

Matematigi, cok cok bariz olgulari kanitlama ihtiyaci duyanlar icat
etmislerdir. Tales'le baslar bu sacmasapan ve anlamsiz ihtiyac ama Bati
dunyasini Bati dunyasi yapan da bu sacmaliktir iste. Daha once matematik
degil sadece matematigi andiran deneysel bir tur bilim vardi. 

Bak, burada bile 0,9999.'un 1'e esit oldugundan emin olanlarla 0,999.'un
1'den kucuk olduguna emin olanlarin catismasini izliyoruz. Birkac kisi
disinda her iki tarafin da argumanlarinin havada kaldigini anlayan yok. Oysa
bunlari bir liseliye anlatmak o kadar zor degil. Bu da ancak ogrenciye
saygiyla mumkundur.

Ali

  _____  

From: E. Mehmet Kıral [mailto:luzumi at gmail.com] 
Sent: Saturday, May 23, 2009 11:05 AM
To: tibet efendi
Cc: Ali Nesin; Matematik Dunyasi
Subject: Re: [MD-sorular] BİR KANIT DAHA

Tibet Efendi'ye:

Diyelim ki çok biçimsel bir bakış açısından bakıyoruz, elimizde Q var ve
Cauchy dizileri yardımıyla R'yi oluşturacağız. 0,99999... diye yazdığımız
sayı hem seriyi (yani kısmi toplmamlardan oluşan diziyi) hem de serinin
toplamını ifade etmiyor. Daha henüz serinin toplamı diye bir sayı yok
elimizde (aslında bu durumda var çünkü "toplam" şansımıza 1 rasyonel
sayısı). Ama tüm gerçel sayıları oluşturacağımızdan böyle bir tanım
yapamayız. O yüzden R'yi Q'dan oluştururken bir sayı olarak mecburen (0,
0.9, 0.99, 0.999, ...) dizisini düşünmek zorundayız, onun toplamını değil.
Hatta bu da yanlış çünkü tek başına (0, 0.9, 0.99, 0.999, ...) dizisini
değil, tanımlanmış bir denklik ilişkisi içerisinde bu dizilerin denklik
sınıfını bir sayı olarak tanımlıyoruz.  Bu durumda (1,1,1,1,1,....) dizisi
ile (0, 0.9, 0.99, 0.999, ...) dizisi aynı denklilk sınıfındalar.
Dolayısıyla eğer denklik sınıfı temsilcileri ile sayıları temsil ediyorsak,
aynı gerçel sayıyı temsil ederler.

Dedekind kesitlerinden de benzer bir sonuç elde etmemiz lazım. Ancak
0.99999... yazılımı o yaklaşıma uygun değil herhalde, beceremedim.

Ali Nesin'e:

Kuraklığı hiç düşünmemiştim, demek ki bazı yerlere de gereğinden fazla
yağıyor, sel oluyor.

Diğer hepsine katılmakla beraber (gerçi dağların denize dik ya da paralel
olmasında anlaşılmayacak ne var anlamadım)

x + y = y + x eşitliğini ezberden ya da en hafifi iknadan başka öğretim
biçimi düşünemiyorum.

2009/5/23 tibet efendi <tibetefendi at yahoo.com>

Aslina bakarsaniz
9/10+9/100+9/1000+....
sonsuz toplami baska sey bu toplamin limiti baska bir sey.

Analizde ikisini de ayni gösterimle ifade ediyoruz.
Yani bu toplami bu sekilde (ya da sigmali) yazdigimizda bu gösterimle hem
seriyi (yani parcali toplamlardan olusan diziyi) hem de bu dizinin limitini
kastediyoruz.
Analiz kitaplarinda da bu ayrim vurgulanir. Ben üc ayri analiz kitabinda
buna dikkat cekildigine rast geldim.

0,999... da ayni sekilde bu seriyi ve limitini ayni anda ifade ediyor olsa
gerek.
Bu bir anlasmadir ama sonucta..

bu arada bize daglar kiyiya paralel (ya da dik) "uzanir" diye
ezberletmislerdi.
Ben de seyi hic anlamazdim. "Istanbul yedi tepe üzerine kuruludur." Ne
demek?
bana böyle yedi tepe ayak olacak sekilde üzerinde tabak gibi bir sey var da
onun üzerinde Istanbul var gibi bir seyler cagristirirdi.

Egitimin beyin yikama mekanizmasi oldugu su götürmez bir gercek. Asil
tehlikeli olan insanlara devlet ideolojisinin asilanmaya calisilmasi. Milli
egitim bakanliginin cografya, tarih, vatandaslik bilgisi gibi kitaplarinin
icinde yazan bir cok sey, insanlik sucu kapsaminda ele alinabilecek seyler.

--- On Fri, 5/22/09, Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr> wrote:

From: Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr>

Subject: Re: [MD-sorular] BİR KANIT DAHA

To: "'Kerem Altun'" <kerem.altun at gmail.com>, "'Ali Nesin'"
<anesin at bilgi.edu.tr>
Cc: "'dede'" <dede_47 at mynet.com>, md-sorular at matematikdunyasi.org
Date: Friday, May 22, 2009, 3:34 PM

Kerem,

Daha once de yazmistim ama bir defa daha yazayim: Bu kadar cok kisinin
0,9999. sayisinin 1'e esit olduguna inanmamasi bir rastlanti olamaz. 

Bu kisiler dogal olarak matematigin inceliklerini bilmeyen kisiler.

Matematik bilmediklerinden sezgileriyle hareket ediyorlar.

Sezgiler onemlidir diyorsun. Dogru. Ama sezgi neyi soyluyor?

Galiba sezgi gercekten 0,9999.. sayisinin 1'den kucuk oldugunu soyluyor.

Belki de sezgi denen sey kisiden kisiye, daha dogrusu egitimden egitime
degisiyor.

A.

  _____  

From: Kerem Altun [mailto:kerem.altun at gmail.com] 
Sent: Friday, May 22, 2009 11:50 PM
To: Ali Nesin
Cc: dede; md-sorular at matematikdunyasi.org
Subject: Re: [MD-sorular] BİR KANIT DAHA

0.999... = 1 esitliginin dogrulugunu sorgulayan arguman olarak zaten simdiye
kadar yalnizca 999... = 1000...  esitliginin saglanmadigi gibi bir arguman
one suruldu bu listede. "Uc nokta" nin ne manaya geldigi konusunda fikir
birligine varmadan zaten bu sorunun tartisilmasi yanlis.

Ama anlatmak istedigim konu bu degil. Matematiksel bir ifadeye kafam
yatmiyorsa kanitini bekleyen ve/veya inceleyen insanlardanim. Belki biraz da
haddimi asacagim ama, 0.999... = 1 esitliginin neyi ima ettigini tahmin
etmeden, bir bakista yanlis olduguna hukmedecek birinin matematik yapmasi
durumunda cok basarili olacagina inanmiyorum. Matematikciler ne derse desin,
mekanik kanitlardan cok insanlarin sezgileri onemlidir diye dusunuyorum.
Cunku zaten matematik o sezgiler dogru olsun diye icat ediliyor
(kesfediliyor diyen de cikabilir, ama bence icat ediliyor). 0.999... = 1
esitliginin matematiksel kanitini anlamaya calismak yerine bu esitlikten
suphe duyan ve aksini kanitlamaya calisan bir insanin matematikte basarili
olamayacagini dusunuyorum.

Listeyle de paylasayim dedim. Matematikcilerin tepki vermesi normaldir
belki, ama dusuncem boyledir.

Kerem

2009/5/22 Ali Nesin <nesin at bilgi.edu.tr
<http://mc/compose?to=nesin@bilgi.edu.tr> >

Ilkokulda, ortaokulda ve lisede ve halen bugun, Mustafa Kemal'in son taaruz
oncesi ordularina, "Ordular, ilk hedefiniz Akdeniz'dir" dedigi ogretilir.
Ardindan da ordularin Akdeniz'e degil Izmir'e, yani Ege'ye ciktigini
ogreniriz.

Hicbir ogrenci ne oluyor burada? Ordular adres mi sasirdi, yoksa Mustafa
Kemal Ege demek istemisken yanlislikla dili surctu de Akdeniz mi dedi diye
sormaz.

Oyle olmustur, oyle soylenmistir, sorgulamayiz.

Ben de sorgulamadim dogal olarak.

Bir de denizde ufuktan bir yelkenli geldiginde once direginin tepesindeki
bayraginin gorundugu, ardindan diregin, sonra yavas yavas teknenin gorundugu
soylenir. Hayatimda hic boyle bir sey gormedim. Goreni de tanimadim!

Kurakligin kuresel isinmadan kaynaklandigi soylenildi surekli. Inandik.
Peki, kuresel isinma oldugunda daha fazla su buharlasmaz mi? Bu buhar nereye
gidiyor? Belki de ozon deliginden kaciyordur!

Cemberin uzunlugunun 2pi x r oldugu, alaninin pi x r^2 oldugu oylesine
israrla ogretildi ki hicbirimiz neden bu formul, nerden cikti, nedir bu pi
diye sormadi bile.

Kok 2'nin "varligi" da oyle ogretildi.

Cunku virgulden sonra sonsuza kadar gidebilirdik. Gitmezdik ama
gidebilirdik!

Hatta kok 2'nin kok 2'nci ussunu alabilecegimize inandik, ne demek oldugunu
bilmeden.

Dogrularin paralel olabilecegine de.

Sayilarin x + y = y + x esitligini sagladigini da inandirdilar. Kabul etmek
gerekir ki cok maharetliler.

Dunyanin gunesin etrafinda dondugune de. Ne demekse! Oysa bir nesne
digerinin etrafinda donuyorsa, donen nesneyi sabit kabul edersen, bu sefer
digeri onun etrafinda doner!

Ben daglarin denize dik inmesinin ne demek oldugunu hic anlamamistim. (Bu
sefer kendi icimde sorgulamistim en azindan!) Yakin zamanda ogrendim! Ama
olguyu biliyordum tabii: Ege'de (galiba!) daglar denize dik iner.

1/3'un 0,33333.'e esit oldugu da benzer bir ornektir. Oysa 0,3333.'un
1/3'ten kucuk oldugu nerdeyse bariz!

Her gecen gun egitimin beyin yikamadan baksa bir sey olmadigina ikna
oluyorum.

A. 

(Not: Ege sozcugu lugatimiza daha sonra girmis. O zamanlar Akdeniz
denirmis.)

-----Inline Attachment Follows-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
<http://mc/compose?to=sorular@matematikdunyasi.org> 
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-- 
Eren Mehmet Kıral

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20090526/677302be/attachment.htm 