[MD-sorular] bir soru

[Ali Nesin]

Hayretler icinde kaldim.
Cok guzel bir kanit.
Cok tesekkurler.
Izninizle, adinizi da zikrederek elbette, MD'de yayimlayacagim. Umarim 
bu sayiya sıkıştırabilirim.
Uzun zamandir bu kadar sasirtici bir kanit gormemistim.
A


Gorkem Ozkaya wrote:
> Onsav 2 icin soyle bir kanit dusundum:
>
> kesirli bir r >=1 icin
>
> f(x) = |x|^r
>
> fonksiyonunun disbukey oldugunu
> gostermek istiyoruz.
>
> basamak 1:
>  her reel x, kesirli r sayilari icin
>  
>  (1 - rx) <= |1 - x|^r  olur.        
>
>  kanit:
>
>  x [0,1] araligindayken bkz. MD 2008-II,
>  sayfa 34, sav 2.
>  
>  x>1 icin apacik.
>
>  x<0 icin  her iki tarafta parantez icleri iki pozitif
>  sayinin toplami oluyor. r'yi m/n
>  olarak yazip, her iki
>  tarafin n'inci kuvvetlerini aldiktan
>  sonra binom acimlarini karsilastirarak
>  esitsizligin saglandigini gorebiliriz.
>
>
> basamak 2:
>  Her reel c sayisi icin oyle bir l_c (x)
>  dogrusu vardir ki
>  
>  f(c) = l_c(c)
>
>  ve  tum reel x'ler icin
>  
>  f(x) >= l_c(x)
>  olur.
>
>  kanit:
>
>  basamak 1'deki ifadede x yerine (1-x/c)
>  koyalim:
>
>  r|c|^r*x/c + |c|^r(1-r) <= |x|^r
>
>  elde ederiz.  x = c noktasinda esitlik saglanir.
>  Bu sayede, esitligin sol tarafi aradigimiz
>  l_c(x) dogrusudur. 
>
>
> basamak 3:
>  f(x) = max_c {l_c(x)}'e esittir ve bu sayede
>  disbukeydir.
>
>  kanit:
>  
>  Esitlik basamak 2'nin sonucudur.
>
>  l_c'ler, dogru olduglari icin disbukeydir.
>  Disbukey fonksiyonlarin maksimumu da disbukeydir:
>
>  f((1-t)a + tb) = max_c {l_c((1-t)a + tb)}
>                 <= max_c {(1-t)l_c(a) +t l_c(b)}
>                 <=  max_c {(1-t)l_c(a)} +max_c{t l_c(b)}
>                 = (1-t) f(a) + t f(b).
>
>
>
>
>
> 2010/4/11 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org <mailto:anesin at nesinvakfi.org>>
>
>     Gecen MD'de bir esitsizligi kanitlarken yanlis yapmisim.
>     Sayfa 20, Onsav 2'nin kaniti yanlis.
>     Duzeltemiyorum da...
>     Amac, r, 1'den buyukesitken, x'i x'in mutlak degerinin r'inci
>     kuvvetine goturen fonksiyonun disbukey, yani avcunu yukarı acmis
>     bicimde oldugunu kanitlamak.
>     Bunu once Onsav 2'de r kesirli bir sayiyken yapmaya calisiyorum.
>     Sonra Teorem 3'te sureklilikten yararlanarak tum r'ler icin
>     kanitliyorum.
>     Onsav 2'yi kanitlamak icin su soruyu kanitlamak gerektigini goruyorum:
>     t ve y, 0 ile 1 arasinda iki sayiysa ve p bir dogal sayiysa,
>     f(p) = ((1-t)y^p + t)^{1/p}
>     olsun. O zaman
>     f(p) < f(p+1)
>     olur.
>     Iste bu son onermeyi kanitlayamadim. Aranizda bunu
>     kanitlayabilecek olan var mi?
>     Turev yasak!
>     Ben p = 2 icin bile kanitlayamadim!
>     Birazdan MD'nin o yazisinin pdf'ini de yollayacagim ama
>     biliyorsunuz once grubumzun agasinin onayi gerekiyor, gelmesi
>     zaman alabilir yani.
>     A
>
>     _______________________________________________
>     MD-sorular e-posta listesi
>     sorular at matematikdunyasi.org <mailto:sorular at matematikdunyasi.org>
>     http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>