[MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler

[ozgur baskaya]

Sayın Üyeler,

geçenlerdeki bazı farklı iletilerde adı geçen iki değişik konu ile
"doğal sayıların insan ürünü gelmesi" şüphesini taşıyan en son iletiyi  
ilintilendirerek bir fikrimi paylaşmak istiyorum:

Geçende listede alman Kronecker'in meşhur bir sözü hatırlatıldı; 
ilk bakışta iki parçalı olarak görünen bir tez... Orjinali:
"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht; alles andere 
ist Menschenwerk".


Türkçesi:
"Tamsayıları Tanrı yarattı; diğer herşey insan(ın) eseri."
("Tanrı tamsayıları yarattı" değil aslında; nüansa dikkat!)

Gelelim ilintilendirdiğim ikinci konuya: 
Sayın Değirmencioğlu Sinüs dalgalarının tartışıldığı bir iletisinde
"Harmonikler" konusundan bahsetmiş. Sanıyorum bu konu Akustik
bilimindeki "ses"in harmonikleri ile analojik eşdeğerde. 
(Yanılıyorsam lütfen düzeltsin kendileri.) 

Ben yukarıdaki tezin 1.parçasının üzerine şu örnekle bir yorum
yapılabilir olduğunu düşünürüm: 

Ses, hepimizin bildiği gibi, kaynağında oluştuktan sonra bilumum 
özellikler taşıyan dalgalar halinde bir medyumda ilerler. 

Doğal bir sesin temel (baz) dalgası vardır ki belli bir frekansta olsun.
Buna "temel ses tonu" diyelim.

Sentetik olarak üretilmeyen, doğada oluşan "her" sesin 
temel ses tonunun yanında sonsuz sayıda "armonikleri" vardır 
(ben başındaki "h" harfini kullanmıyorum). Bunlar bir nevi o sesin 
bileşenleridir. Nasıl ki -örneğin- herhangi bir Taylor serisini
olustururken 1. seri elemanının ardında sonsuz adet diğerleri
sıralanıyorsa, bu armonikler de o doğal sesin bileşenleridir.
Temel ses tonunun şiddeti (yani dalgasının amplitüdü) en yüksek
olandır ve bu şiddet diğer bileşenlerde belli şekilde düşer.

Ve gelelim benim açımdan en can alıcı noktaya ki doğal sayıların
insan ürünü olmadığının bence en açık kanıtlarından biridir:

Temel ses tonu 1.ton olsun, örneğin frekansı 100 Hz olsun. Diğer 
bileşenlerin ses tonları 2., 3., 4., ... diye numaralandırılsın. 
2. bileşen ses tonunun frekansı temel tonun tam tamına 2 katıdır (200 Hz);
3.sü tam 3 katı (300 Hz) ve 4. olan tam 4 katı (400 Hz) diye devam eder. 
Doğal olarak her bir sonra gelen bileşenin dalga amplitüdü giderek alçalır 
ve daha az duyulur hale gelir ama teorik olarak sıfır değerini almaz.

Ben bu konuya, ingilizcesi Overtone Singing, Almancası Oberton-Gesang
diye bilinen, özellikle Tuva (bir Türkî Cumhuriyet) ve Moğolistan'da 
çocuk yaşlardan itibaren uygulanan bir şarkı söyleme türüyle
ilgilenmeye başladığımda hayran kalmıştım. 

Benim açımdan "tam sayıların" (burada "doğal sayılar" diye vurgulamak
daha doğru olur kanımca, çünkü negatif değerlerden söz etmiyoruz) 
doğada kesinlikle var olduğunun kanıtıdır bu örnek. Daha başka örnekler 
tabii ki bulunabilir ama çarpıcılık açısından en sevdiğim örnektir. 

Dikkat edin, burada sayma kavramından bahsetmiyoruz. Doğa kendiliğinden
oranlıyor, hem de tam tamında doğal sayı katlarıyla. Bu doğal sayı katlar 
temel ses tonunu referans alır, yani ona oranlanır. Sayarken 1, 2, 3 diye
saymak başka, oranlarken 1 katı, 2 katı, 3 katı diye oranlamak başka şeyler
ki doğa yapıyor bu oranlamayı; biz insanoğlu değil. Bize "sadece" keşfetmek 
düşmüş. 

Zaten yine meşhur bir kişiliğin "Herşey Görecedir! (Alles ist relativ!)"
sözünden feyz almışlığım da vardır.

İleriki iletilerimde 3 doğal sayısının 2 doğal sayısına oranının doğada
ve dolayısıyla matematikte karşımıza çıktığı konuları sorgulamaya açmaya
niyetliyim. "Nedir bu 3/2 oranı?" diye soracağım yani...
Saygılarımla 

Ö.B.

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100629/813fa15f/attachment.htm>