[MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler

[tibet efendi]

Benim söyledigim sey yanlis anlasilmis.
Ben 1,2,3 gibi "dogal sayilar"in insan zihnine özel kavramlar oludugunu düsünmüyorum.Cünkü örnegin fareler 7'ye kadar sayabiliyorlar. Demek ki farenin kafasinda bile sayi kavrami gördügü seylerden bagimsiz olarak var. 
(Bunun deneyi söyle yapiliyor: yan yana tüneller diziyorlar. tünellerden belli birinin sonuna peynir koyuyorlar. Ama diyelim hep 6. tünelin sonuna... Fare tek tek tünellere girip peynir orada mi diye bakiyor. Deney sürekli tekrarlaniyor ve peynir diyelim hep 6. tünele konuyor. Fare bir süre sonra diger tünellere bakmadan dogrudan 6. tünele girip peyniri yemeye basliyor. Tünellerin kapilarinin acildigi odanin seklini degistiriyorlar, tünellerin kapilarinin seklini, birbirlerinden uzakliklarini, tünellerin kokularini degistiriyorlar. Yani deney setindeki herseyi degistiriyorlar. Fare yine 6. tünele giriyor peyniri yiyor. (namissiz). 7'de de yapiyor bunu ama 8 olunca yapamiyor. Ama diyelim 13 tünelli bir deneyde bu sefer sagdan tünel kapilarini sayip sagdan 6. kapiya girerek 8. kapiya girmis oluyor. Yani fare deyip gecmeyin. Bunu "Through our Eyes Only" diye bir kitap var, orada okumustum, cok sahane bir kitap.)

Ben sonsuz elemani olan "dogal sayilar kümesi"nin insan yaratisi oldugunu düsünüyorum. Daha dogrusu sonsuzluk kavraminin...
Mesela asal sayi kavraminin da evrensel oldugunu düsünüyorum. Insan yaratisi bir kavram degil. Ama sonsuzluk bence bize has bir sey. Bizim uydurdugumuz bir sey.
tibet



--- On Tue, 6/29/10, Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> wrote:

From: Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
Subject: Re: [MD-sorular] Doğal sayılar ve (h)armonikler
To: "ozgur baskaya" <baskaya_ozgur at yahoo.com>
Cc: "Matematik Dünyasi" <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Date: Tuesday, June 29, 2010, 12:17 PM

Ufak bir ekleme yapmak istiyorum. Dogada ses cikartan hicbirsey, aslinda tek bir frekansta titresmez. Yani temel frekansin (ing. fundamental frequency) tek bir reel sayiya esit oldugu durumlar ancak teoride mumkundur. "Temel ses tonunun frekansi 100 Hz olsun" dediginizde aslinda diger frekanslardaki (cok kucuk) titresimleri ihmal ederek bunu yapiyorsunuz.


Tabii bu yazdiklarim dogal sayilar dogada yoktur manasina gelmez. Sesi frekans bilesenlerine ayirdiginizda en baskin bilesen 100 Hz'deyken 200, 300, 400 ... Hz'lerde de cok baskin bilesenler oldugu bir gercek. Ama zaten bir agactaki elmalari da 1, 2, 3, ... diye sayabiliyoruz, bu bile yeterli bir arguman gibi geliyor bana. Ismiyle musemma, "dogal" sayi!


Kerem



2010/6/29 ozgur baskaya <baskaya_ozgur at yahoo.com>






Sayın Üyeler,
 
geçenlerdeki bazı farklı iletilerde adı geçen iki değişik konu ile
"doğal sayıların insan ürünü gelmesi" şüphesini taşıyan en son iletiyi  
ilintilendirerek bir fikrimi paylaşmak istiyorum:
 
Geçende listede alman Kronecker'in meşhur bir sözü hatırlatıldı; 
ilk bakışta iki parçalı olarak görünen bir tez... Orjinali:
"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht; alles andere 
ist Menschenwerk".


Türkçesi:
"Tamsayıları Tanrı yarattı; diğer herşey insan(ın) eseri."
("Tanrı tamsayıları yarattı" değil aslında; nüansa dikkat!)
 
Gelelim ilintilendirdiğim ikinci konuya: 
Sayın Değirmencioğlu Sinüs dalgalarının tartışıldığı bir iletisinde
"Harmonikler" konusundan bahsetmiş. Sanıyorum bu konu Akustik
bilimindeki "ses"in harmonikleri ile analojik eşdeğerde. 
(Yanılıyorsam lütfen düzeltsin kendileri.) 
 
Ben yukarıdaki tezin 1.parçasının üzerine şu örnekle bir yorum
yapılabilir olduğunu düşünürüm: 
 
Ses, hepimizin bildiği gibi, kaynağında oluştuktan sonra bilumum 
özellikler taşıyan dalgalar halinde bir medyumda ilerler. 
 
Doğal bir sesin temel (baz) dalgası vardır ki belli bir frekansta olsun.
Buna "temel ses tonu" diyelim.
 
Sentetik olarak üretilmeyen, doğada oluşan "her" sesin 
temel ses tonunun yanında sonsuz sayıda "armonikleri" vardır 
(ben başındaki "h" harfini kullanmıyorum). Bunlar bir nevi o sesin 
bileşenleridir. Nasıl ki -örneğin- herhangi bir Taylor serisini
olustururken 1. seri elemanının ardında sonsuz adet diğerleri
sıralanıyorsa, bu armonikler de o doğal sesin bileşenleridir.
Temel ses tonunun şiddeti (yani dalgasının amplitüdü) en yüksek
olandır ve bu şiddet diğer bileşenlerde belli şekilde düşer.
 
Ve gelelim benim açımdan en can alıcı noktaya ki doğal sayıların
insan ürünü olmadığının bence en açık kanıtlarından biridir:
 
Temel ses tonu 1.ton olsun, örneğin frekansı 100 Hz olsun. Diğer 
bileşenlerin ses tonları 2., 3., 4., ... diye numaralandırılsın. 
2. bileşen ses tonunun frekansı temel tonun tam tamına 2 katıdır (200 Hz);

3.sü tam 3 katı (300 Hz) ve 4. olan tam 4 katı (400 Hz) diye devam eder. 
Doğal olarak her bir sonra gelen bileşenin dalga amplitüdü giderek alçalır 
ve daha az duyulur hale gelir ama teorik olarak sıfır değerini almaz.

 
Ben bu konuya, ingilizcesi Overtone Singing, Almancası Oberton-Gesang
diye bilinen, özellikle Tuva (bir Türkî Cumhuriyet) ve Moğolistan'da 
çocuk yaşlardan itibaren uygulanan bir şarkı söyleme türüyle
ilgilenmeye başladığımda hayran kalmıştım. 
 
Benim açımdan "tam sayıların" (burada "doğal sayılar" diye vurgulamak
daha doğru olur kanımca, çünkü negatif değerlerden söz etmiyoruz) 
doğada kesinlikle var olduğunun kanıtıdır bu örnek. Daha başka örnekler 
tabii ki bulunabilir ama çarpıcılık açısından en sevdiğim örnektir. 
 
Dikkat edin, burada sayma kavramından bahsetmiyoruz. Doğa kendiliğinden
oranlıyor, hem de tam tamında doğal sayı katlarıyla. Bu doğal sayı katlar 
temel ses tonunu referans alır, yani ona oranlanır. Sayarken 1, 2, 3 diye
saymak başka, oranlarken 1 katı, 2 katı, 3 katı diye oranlamak başka şeyler
ki doğa yapıyor bu oranlamayı; biz insanoğlu değil. Bize "sadece" keşfetmek 
düşmüş. 
 
Zaten yine meşhur bir kişiliğin "Herşey Görecedir! (Alles ist relativ!)"
sözünden feyz almışlığım da vardır.
 
İleriki iletilerimde 3 doğal sayısının 2 doğal sayısına oranının doğada
ve dolayısıyla matematikte karşımıza çıktığı konuları sorgulamaya açmaya
niyetliyim. "Nedir bu 3/2 oranı?" diye soracağım yani...
 Saygılarımla 
 
Ö.B.
 
 
 
 

_______________________________________________

MD-sorular e-posta listesi

sorular at matematikdunyasi.org

http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular



-----Inline Attachment Follows-----

_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular


      
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100629/18339af0/attachment.htm>