[MD-sorular] Sıcak cisim problemi üzerine varyasyonlar

[MEHMET ERŞEN ÜLKÜDAŞ]

.
Şu sıcak cisim probleminde benim de biraz tuzum olsun dedim.
.
Diferansiyel denklemler MD ortak sorular ortamında pek ele alınmadı,
ben beş yıl kadar oldu liste üyesiyim, öyle hatırlıyorum.
Sanırım şu neden ile, 
hepimizin her üç ayda bir ha çıktı çıkacak diye dört gözle beklediğimiz
Matematik Dünyası dergimizde bu konu henüz işlenmedi,
sırası gelince ilerideki sayılarda sanırım
Sayın Ali Nesin Hoca bu konuyu gündeme alacak,
MD'nin önceki sayılarından birinde bir okur mektubuna yanıt olarak
A. Nesin Hoca böyle bir muştu vermişti.
Diferansiyel denklemler konusunu gündeme 
Sayın Murat Davman getirdi, bence iyi oldu,
hiç ilgi çekmeyecek sandım, oysa Sayın Can Koltuk,
Sayın Kerem Altun ve Sayın Erdem Erdemgil konu ile ilgilendiler.
Kendi uzmanlık alanları açısından açıklayıcı bilgiler ilettiler.
İlk ileti ise Sayın
Burak Karabey'den geldi :
merhaba
bilgiler yeterli degil bence.
anırım Sayın Davman kasden eksik done vermiştir,
konu üzerinde düşünmeğe sevk etmek için,
bu da pedagojik bir yöntem,
bizler orta mektepte iken çoğun matematik hocalarımız böyle ederdi,
yazılılarda ve sözlüde,
ödevlerde bu yolu yeğlemezlerdi, millet birbirinden kopya çekmeğe kalkışırsa
kıymeti harbiyesi olmaz diye !
Bu arada Sayın Erdemgil'in bir ekonomist olarak sunduğu ilginç
benzeşim övgüye değer. Ancak Sayın Altun biraz sert bir çıkış ile
düzeltme yapmış, her halde MD üyelerinin olası yanlış bilgi edinmelerini
önlemek için. Bu arada şunu belirteyim k katsayısının fiziksel boyutu
zaman değil zamanın tersi, 1/saniye, 1/dakika gibi bir birim ile belirtilir.
Nitekim üstel fonksiyondaki (k-katsayısı) x (zaman) boyutsuz bir büyüklük
olmak durumundadır.
Matematik model pratik açıdan oldukça gerçekçi, çok başarılıdır.
Ancak şu da var ki cisim ortam sıcaklığına bu modele göre 
(finate/sonlu bir süre sonunda) asla ulaşamaz, 
ortam sıcaklığına ancak sonsuz/infinate sürede kavuşur!
Eh o kadar kusur kadı kızında da bulunur !?!?!!?!?!!?!?!
İrdeler isek daha nice mıncıklanacak şeyler buluruz,
Sayın Altun ve Sayın Koltuk'un belirtikleri gibi,
amma gene de yiğitin hakkını yiğite verelim,
belli bir süre sonra ütü ile oda sıcaklığı arasındaki fark
algılanıp ölçülemez derece küçülür.
.
Mehmet Erşen Ülküdaş
.
----------
To: Erdem Erdemgil <erdem.erdemgil at yahoo.com>
Cc: md-sorular at matematikdunyasi.org
Sent: Wed, March 17, 2010 5:04:41 PM
Subject: Re: Re: [MD-sorular] Sıcak cisim
Bu yaptiginiz esasinda yanlis olur. Ben o fonksiyonu ornek olarak vermistim.
Daha duzgun bir ornek, T(t)=T_oda + (T_0 - T_oda) exp(-kt) gibi birsey olur.
Yani t artarken utunun sicakligi odanin sicakligina yaklasir.
Siz benim verdigim ornegi oldugu gibi kullanarak T(t) sifira yaklasiyor 
gibi dusunmussunuz. Bu gercekci bir model olmaz.
1/k sayisina bu sistemin "time constant"i denir. Turkcesini bilmiyorum, 
ozur dilerim. Birimi saniye, dakika, saat vs gibi bir zaman birimidir.
Genelde T ile gosterilir ama sicakligi T ile gosterdigimden 
ona T diyemiyorum. A diyelim. Pratikte 4A kadar zaman gectikten sonra utunun
tamamen sogudugu varsayilir. Yani muhendisler oyle varsayarlar. 
Yani soguma suresini olcup 4'e boldukten sonra tersini alarak k'yi 
bulabilirsiniz.
Bu 4 de nereden cikti diye soranlar, internette "first order systems" diye 
ararlarsa aradiklarini bulurlar sanirim. Tam hatirlamiyorum ama %2 tolerans
araligi gibi birseydi. Birinci mertebeden sistemlerde bu limite yakinsayan 
deger, limitin %2 tolerans araligina 4A surede girer. Yanlis hatirlamiyorsam.
Kerem
2010/3/17 Erdem Erdemgil <erdem.erdemgil at yahoo.com>
Sayın Kerem Altun
T(t)=T_0 exp(-kt) gibi bir model  ekonomi bilimindeki arz eğrisine benziyor,
T(t)=T_0 exp(+kt) ise talep eğrisini andırıyor,
bu formüllerdeki k katsayısı istatistiksel veri toplama, istatistiksel analiz
ve başkaca   ekonometri teknikleri ile belirlenmektedir.
Ütü problemi için şöyle bir yaklaşım yapabilir miyim ?
Soğuma süresi  t_s olarak ölçülmüş olsun, ütü soğuduğunda,
yani sıcaklığı oda sıcaklığına ulaştığı anda 
T_oda=T_0 exp[-k(t_s + 0)] yazabiliriz, 
her iki tarafın logaritması alınarak k katsayısı
k = [T_O=T_oda]/(t_s) olarak bulunur.
Fizikçi ve ısı tekniği mühendislerinin işine karışmış gibi
oldum, hata ettimse af oluna,
iyi günler diler, ekonometri ile yaptığım bu benzeşimi
katkı ve eleştirileriniz için görüşlerinize sunarım.
Erdem Erdemgil
 ekonometrist
-------------
Altun <kerem.altun at gmail.com>
To: Murat Davman <murat.davman at hotmail.com>
Cc: md-sorular matematikdunyasi <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Mon, March 15, 2010 10:26:51 PM
Subject: Re: [MD-sorular] Sıcak cisim
"Gercek hayat" ile ilgili bu tip problemlerde once bir matematiksel model
cikarmaniz gerekir. Yani, problemin bu matematiksel modele uygun olara
davrandigini varsaymaniz gerekir. Bu model hicbir zaman gercekle birebir 
ayni olamaz. Zaten gercek durumu (ornegin sicakligi) hicbir zaman mukemmel
olarak olcemezsiniz.
Ornegin gercek bir durumdan bahsediyorsak, isi alisverisi yalnizca 
radyasyon ile olmaz. Utu ayni zamanda konduksiyon/iletim ve 
konveksiyon/taşınım ile de sogur. Konduksiyon belki ihmal edilebilir, 
ama konveksiyonun ihmal edilebilecegini hic sanmiyorum. 
Bu durumda utunun geometrisi, yapildigi malzemeler vs gibi birsuru 
parametre isin icine girer. Probleme bu sekilde bir yaklasimin modeli
kismi diferansiyel denklemlerdir. Cozmesi zordur, hatta cogu zaman bilgisayar
kullanmadan imkansizdir.
Daha basit bir model de kullanilabilir. Ornegin yuku bosalmakta olan bir
elektriksel kondansator devresine benzetebilirsiniz. 
O zaman sicaklik logaritmik olarak azalir.
Ornegin T(t)=T_0 exp(-kt) gibi bir model cogu zaman is gorur. 
Kerem
-
From: Can Koltuk <cankoltuk at gmail.com>
To: matematik dünyasi <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Mon, March 15, 2010 8:59:45 PM
Subject: [MD-sorular] Sıcak cisim
Merhaba, 
Gerçekten de bilinmesi gereken başka bilgiler de var. 
Ütünün malzemesinin özgül ısısı ve ağırlığı bilinmelidir. 
Bunlar bilindikten sonra 60 derecedeki ütünün 20 derecede olan odaya 
ne kadar enerji vereceği;
 Q = m.c.(Td - Tü) 
hesabıyla bulunabilir. Burada m ütünün ağırlığı, c ise özgül ısısıdır.
Td ve Tü sırasıyla denge sıcaklığı ve ütünün sıcaklığı olarak aldım. 
Tabiiki derece Celsius değil, derece Kelvin biriminde olmalılar. 
Bundan sonra işe Stefan Kanunu'nu (Stefan's Law) sokmanız gerekir.
(Odaya konulan ütünün enerjisini etrafına ışınım (ışıma/radyasyon) yoluyla
verdiğini varsayıyoruz.) Stefan kanunu, bir cismin çevreye ışıma ile verdiği
enerjinin, cismin kendi sıcaklığının dördüncü kuvvetiyle doğru orantılı
olduğunu söyler ve şu şekilde formüle edilebilir:
P = (sigma).A.e.T^4  .
Bu formülde P bildiğimiz güç (yani Watt = Joule / saniye), 
sigma Stefan sabiti: 5,6696 x 10^-8 W/m^2.K^4, A ütünün yüzey alanı, 
e ise 0 ve 1 arasında değişen değerler alan yayınlanma katsayısı denen
bir sayıdır. 
Farkettim de bilinmesi gereken başka şeyler de varmış.
Ayrıca daha ayrıntılı hesaplar yapmak da mümkün.
Bir örnek vermek gerekirse Stefan Kanunu'nun,
aynı zamanda ütünün odadan geri aldığı enerjiyi de hesaba katan
Pnet = (sigma).A.e.(T^4 - T0^4) versiyonuyla da çalışabilirsiniz.
Burada T cismin, T0 odanın sıcaklığıdır.
İşin fiziksel boyutuna da şöyle bir yorum getirebilirim; 
Ütüyü odaya koyduğunuzda, bizim sıcaklık olarak hissettiğimiz enerjisini 
ısı yoluyla odadaki havaya aktarmaya başlar. 
(Odadaki havanın önemsiz derecede küçük bir miktarda ısındığını düşünüyoruz.)
Ütü, enerjisini, sıcaklığı oda sıcaklığıyla neredeyse eşit olacak şekilde
kaybettikten sonra ısı alışverişi durmaz. Ancak artık tek yönlü olarak değil
iki yönlü olarak devam eder. Yani enerji sadece ütüden odaya akmaz. 
Ütüden odaya, odadan ütüye. (Aslında ilk durumda da enerji iki yönlü 
akıyordu ama odadan ütüye geçen enerji miktarı ve hızı çok daha düşük
olduğu için ütüden odaya net bir enerji akışı olduğunu varsaydım.
Hocalarım duymasın.) 
Bundan sonra da ısı alışverişi bu şekilde devam eder. 
Umarım yardımcı olmuştur.
Herkese iyi çalışmalar.
Can Koltuk
-
From: Burak Karabey <burakkarabey at gmail.com>
To: Murat Davman <murat.davman at hotmail.com>
Cc: md-sorular matematikdunyasi <md-sorular at matematikdunyasi.org>
Sent: Mon, March 15, 2010 8:13:24 PM
Subject: Re: [MD-sorular] Sıcak cisim
merhaba
bilgiler yeterli degil bence.
-
BU KONUDA İLK İLETİ :
15 Mart 2010 19:36 tarihinde Murat Davman <murat.davman at hotmail.com> yazdı:
.
Sıcak bir cisim bir ortama getirilip bırakılıyor,
ne olur ? Cisim soğur ...
Mesela 60 derece sıcaklıkta kızgın bir ütü
sıcaklığı 20 derece olan bir odaya getirildi,
bu ütü kaç dakika sonra soğur ?
 

 

 
 		 	   		  
_________________________________________________________________
Windows Live Hotmail: Arkadaşlarınız Facebook'taki güncellemelerinizi doğrudan Hotmail®'den alır.
http://www.microsoft.com/windows/windowslive/see-it-in-action/social-network-basics.aspx?ocid=PID23461::T:WLMTAGL:ON:WL:tr-tr:SI_SB_4:092009
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100317/0dccea51/attachment.htm>