[MD-sorular] Ynt: Re: Dörtgen

[Gorkem Ozkaya]

Ilk epostanizdaki hesaplamanizda Cos^2(M/2) = Cos^2(N/2) esitliginden
yola cikarak M = N sonucunu cikariyorsunuz, sorun burada.  Basit bir
karsi ornek olarak M =pi/2, N = 3pi/2 alinabilir.  Genel olarak f(a) =
f(b) esitliginden a = b sonucunu cikartabilmek icin, f'nin birebir bir
fonksiyon olmasi gerekir.  Burada ise Cos^2(x/2) fonksiyonu birebir
degildir.

Ikinci epostanizin 2. maddesinde elde ettiginiz ifadeler birbirine
"ve" ile bagli degil, "veya" ile bagli.  Cos^2(M/2) = Cos^2(N/2)
oldugunu biliyorsak, yazdiginiz ifadelerden en az birinin en az bir k
degeri icin dogru oldugunu biliyoruz demektir.  M ve N hakkinda baska
bir bilgimiz olmadan bunlarin hangisinin, hangi k degeri icin dogru
oldugunu bilemeyiz.


2010/10/8 dede <dede_47 at mynet.com>:
> Sayın Görkem Özkaya;
> Çelişkinin kaynağı;"Cos(M/2)=Cos(N/2), yani M=N bulunur."
> diyorsunuz;inceleyelim bunu:
> 1)Kosinüsleri/Sinüsleri eşit olan açılarda birbirine eşit olmaz mı?
> 2)Eğer kastınız; Cos^2(M/2)=Cos^2(N/2) yı
>    Cos^2(M/2)-Cos^2(N/2)=0 şeklinde "olduğu gibi" alıp
>    işlem yapmamaksa;bunu da yapalım:
>    (Cos(M/2)-Cos(N/2))(Cos(M/2)+Cos(N/2))=0 demektir.
>    Cos(M/2)-Cos(N/2)= -2Sin((M+N)/4)Sin((M-N)/4)=0 dan
>    M+N=4kpi; (1) ve M-N=4kpi, (2) bulunur.
>    Cos(M/2)+Cos(N/2)=2Cos((M+N)/4)Cos((M-N)/4)=0 dan
>    M+N=2(2k+1)pi; (3) ve M-N=2(2k+1)pi; (4) çıkar.
>   (Bu eşitlikler de k=0,1,2,3... dür.)Şimdi elimizde "bir sorun için"
>   (1), (2), (3) ve (4) nolu dört eşitlik var.Bu dört eşitlikte sadece
>   (3) nolu eşitlik k=0 için dörtgenler de bilinen M+N=2pi
>    eşitliğini verir. K'nın hiçbir değeri bize bilinen başka bir
>    eşitlik vermez.O zamanda şu soru(lar) sorulabilir:
> a) Neden sadece k=0 değeri bizi doğru sonuca götürüyor da,
>     k'nın diğer hiçbir değeri hiçbir eşitlikte bize bilinen bir eşitlik
> vermiyor?
> b)Elementer yollarla önceden M+N=2pi eşitliğini bilmesek
>    (kanıtlanmamış olsa),trigonometriye güvenerek yaptığımız
>    yukarıda ki işlemler de k'nın hangi değerinin bizi hangi doğru
>    sonuca taşıyacağını nasıl/hangi ölçütle bilebilecektik?.Hani
>    "matematiğimiz çok sağlam/güvenilir/doğru" idi?
> c) Buradaki gibi; trigonometriye güvenerek yapacağımız başka bir
>     kanıtlamanın/bulacağımız bir formülün;eğer bu kanıt veya formül
>     başka yollarla önceden  kanıtlanmamış/bulunmamışsa,doğruluğuna
>     nasıl güvenebileceğiz?
> d) k'nın diğer değerlerinden bu formüllerde elde edilecek sonuçlar
>     "gereksiz" midir; değilse "nerede/hangi geometride/hangi koşullarda"
>     doğrudur?Yani bunların "fiziksel gerçekliği" nedir?Bunların hiçbiri
> değilse
>     "matematiğimizin" böyle "boş sonuçlar üretmesi" doğru mudur,ne zaman
> "boş"
>      ne zaman "dolu" sonuç(lar) vereceğini nereden/nasıl bileceğiz?
>      Hani matematik "bilimlerin şaşmaz pusulası" idi?
> Ben bu sorulara "sağlıklı bir yanıt" veremediğim için böyle bir
> "örnek soru  üzerinden" konuyu liste üyelerinin dikkatine
> sunmak istedim.Bu sorulara "sağlıklı/mantıklı" yanıtı olan
> değerli üyeler görüşlerini-sizin gibi- yazarlarsa çok memnun
> olacağım.İlginize teşekkürlerimle,yaşamınızda başarılar dilerim.
> A.Kadir Değirmencioğlu
> Not:İletilerim böyle "uzun" oluyor,beni "kısa/özlü" yazabilme
> becerisi kazandıramadığı için kabahatlı "edebiyat öğretmenimdir(!)"
> Kimse beni suçlamasın;edebiyat öğretmen(ler)ime "KIZSIN(!)"
>
>
>
> ----- Özgün İleti -----
> Kimden : "Gorkem Ozkaya"
> Kime : "dede"
> Cc : md-sorular at matematikdunyasi.org
> Gönderme tarihi : 8/10/2010 8:44
> Konu : Re: [MD-sorular] Dörtgen
> Celiskinin kaynagi su ifade:
>
> "Cos(M/2)=Cos(N/2) yani M=N bulunur. "
>
>
> 2010/10/6 dede <dede_47 at mynet.com>
>>
>> Sayın Üyeler;
>>
>> Sorumun düzeyi orta öğretim düzeyi ama takıldım:
>>
>> Kenar uzunlukları a, b, c ve d ve karşılıklı iki köşesinde
>>
>> ki açıların toplamı M olan herhangi bir dörtgende:
>>
>> u=(a+b+c+d)/2 olmak kaydıyla,dörtgenin S alanı
>>
>> S=Kök((u-a)(u-b)(u-c)(u-d)-abcdCos^2(M/2)), (1) ile
>>
>> verildiği kanıtlanır.(d= 0 ise üçgenin alanını veren
>>
>> Heron formülüne indirgenir) Bu dörtgen de diğer karşılıklı
>>
>> iki köşe açısı toplamı N ise yine bu dörtgenin alanı:
>>
>> S=Kök((u-a)(u-b)(u-c)(u-d)-abcdCos^2(N/2)), (2)
>>
>> olacaktır.Bu iki alan formülünden Cos(M/2)=Cos(N/2) yani
>>
>> M=N bulunur. N+M=360 derece olduğundan N=M=180 derece
>>
>> çıkar.N=M=180 yukarıdaki alan formüllerine taşınırsa
>>
>> S=Kök((u-a)(u-b)(u-c)(u-d)) alan formülü elde ediliyor.
>>
>> (yani kirişler dörtgeninin alan formülü) Ama (1) veya (2)
>>
>> formülü (örneğin M=125, N=235 derece) M ve N in her değeri için
>>
>> doğru alan değeri vermektedir.Bu "durum" nasıl açıklanabilir?
>>
>> Saygılarımla...
>>
>> A.Kadir Değirmencioğlu
>>
>
>
> ________________________________
> Facebook ve Twitter hesaplarını tek yerden güncelle, anında paylaş! Hemen
> tıkla!