[MD-sorular] Dörtgen

9 Eki 2010 Cmt 01:38:38 EEST

Iki orneginizde de ayni durum var: geometri problemindeki acilarin saglamasi
gereken bir trigonometrik baginti elde ederseniz, bu baginti problemdeki aci
degerlerinin yani sira, problemle ilgisi olmayan cok sayida baska degeri de
saglayabilir.  Dikkat edilmezse yanlis cikarimlara yol acabilecek bir durum.

Yazdigim ifadeler matematik diliyle kolayca yazilip kanitlanabilir.  Iki
fonksiyonun carpiminin kokler kumesi, fonksiyonlarin kokler kumelerinin
birlesimidir.  Bilindigi gibi f(x)g(x) = 0 ise, ya f(x) = 0'dir ya da g(x) =
0'dir, her ikisinin de ayni anda 0 olmasi gerekmez.  Daha sonra denkleme
ifadeler eklenince (sizin probleminizdeki 0 <= M<= 2 pi gibi), elde edilen
cozum kumelerinin bunlarla kesisimi alinarak dogru sonuc bulunabilir.

Sizin probleminizle ilgili Wolfram Alpha'da cikan su grafikleri incelemek
belki yardimci olur:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+Cos
^2%28M%2F2%29+%3D+Cos^2%28N%2F2%29

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+{+Cos
^2%28M%2F2%29+%3D+Cos^2%28N%2F2%29%2C+0+%3C%3D+M+%3C%3D+2*pi%2C+0+%3C%3D+N+%3C%3D+2*pi}

2010/10/8 dede <dede_47 at mynet.com>

> Sayın Görkem Özkaya;
>
> Açıklamanız benim için "aydınlatıcı" oldu;ancak
>
> "Cos^2(M/2) = Cos^2(N/2) oldugunu biliyorsak,
>
> yazdiginiz ifadelerden en az birinin en az bir k
> degeri icin dogru oldugunu biliyoruz demektir.
>
> M ve N hakkinda baska bir bilgimiz olmadan bunlarin
>
> hangisinin, hangi k degeri icin dogru
> oldugunu bilemeyiz." cümleniz de:
>
> a)"...en az birinin en az bir k değeri için doğru
>
> olduğunu biliyoruz demektir." hükmüne/nereden/nasıl
>
> varılabiliyor? Bu "hükme" girmeyen diğer ifade
>
> neyin karşılığı olmaktadır?(fiziksel anlamda)
>
> b) M ve N için (iç bükey bir dörtgen için);
>
> 0<M<pi ve 0<N<pi bilgisinden başka bilgimiz yok!
>
> Sadece bu bilgi ışığında hangi k'nın hangi
>
> doğru sonucu vereceğini yine "nereden/nasıl"
>
> bilebiliyoruz?
>
> c)Bu "karar verme" hükümleriniz;sağ duyu ile mi
>
> yoksa "bilimler de" benim bilmediğim bir
>
> teori/kural/ölçü ile mi belirlenmektedir.?
>
> Bu konuda da fikirlerinizi/bilgilerinizi
>
> belirtirseniz,sorularımın çoğu benim için de
>
> "yanıtlanmış" olacaktır.
>
> Tekrar teşekkürlerimle...
>
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
>
>
> ----- Özgün İleti -----
> Kimden : "Gorkem Ozkaya"
> Kime : "dede"
> Cc : md-sorular at matematikdunyasi.org
> Gönderme tarihi : 8/10/2010 12:02
> Konu : Re: Ynt: Re: [MD-sorular] Dörtgen
> Ilk epostanizdaki hesaplamanizda Cos^2(M/2) = Cos^2(N/2) esitliginden
> yola cikarak M = N sonucunu cikariyorsunuz, sorun burada. Basit bir
> karsi ornek olarak M =pi/2, N = 3pi/2 alinabilir. Genel olarak f(a) f(b)
> esitliginden a = b sonucunu cikartabilmek icin, f'nin birebir bir
> fonksiyon olmasi gerekir. Burada ise Cos^2(x/2) fonksiyonu birebir
> degildir.
>
> Ikinci epostanizin 2. maddesinde elde ettiginiz ifadeler birbirine
> "ve" ile bagli degil, "veya" ile bagli. Cos^2(M/2) = Cos^2(N/2)
> oldugunu biliyorsak, yazdiginiz ifadelerden en az birinin en az bir k
> degeri icin dogru oldugunu biliyoruz demektir. M ve N hakkinda baska
> bir bilgimiz olmadan bunlarin hangisinin, hangi k degeri icin dogru
> oldugunu bilemeyiz.
>
>
> 2010/10/8 dede <dede_47 at mynet.com<http://../src/compose.php?send_to=dede_47%40mynet.com&unique_id=dc7da15b1a3dd4500f6fc2d753f50023>
> >:
> > Sayın Görkem Özkaya;
> > Çelişkinin kaynağı;"Cos(M/2)=Cos(N/2), yani M=N bulunur."
> > diyorsunuz;inceleyelim bunu:
> > 1)Kosinüsleri/Sinüsleri eşit olan açılarda birbirine eşit olmaz mı?
> > 2)Eğer kastınız; Cos^2(M/2)=Cos^2(N/2) yı
> >    Cos^2(M/2)-Cos^2(N/2)=0 şeklinde "olduğu gibi" alıp
> >    işlem yapmamaksa;bunu da yapalım:
> >    (Cos(M/2)-Cos(N/2))(Cos(M/2)+Cos(N/2))=0 demektir.
> >    Cos(M/2)-Cos(N/2)= -2Sin((M+N)/4)Sin((M-N)/4)=0 dan
> >    M+N=4kpi; (1) ve M-N=4kpi, (2) bulunur.
> >    Cos(M/2)+Cos(N/2)=2Cos((M+N)/4)Cos((M-N)/4)=0 dan
> >    M+N=2(2k+1)pi; (3) ve M-N=2(2k+1)pi; (4) çıkar.
> >   (Bu eşitlikler de k=0,1,2,3... dür.)Şimdi elimizde "bir sorun için"
> >   (1), (2), (3) ve (4) nolu dört eşitlik var.Bu dört eşitlikte sadece
> >   (3) nolu eşitlik k=0 için dörtgenler de bilinen M+N=2pi
> >    eşitliğini verir. K'nın hiçbir değeri bize bilinen başka bir
> >    eşitlik vermez.O zamanda şu soru(lar) sorulabilir:
> > a) Neden sadece k=0 değeri bizi doğru sonuca götürüyor da,
> >     k'nın diğer hiçbir değeri hiçbir eşitlikte bize bilinen bir eşitlik
> > vermiyor?
> > b)Elementer yollarla önceden M+N=2pi eşitliğini bilmesek
> >    (kanıtlanmamış olsa),trigonometriye güvenerek yaptığımız
> >    yukarıda ki işlemler de k'nın hangi değerinin bizi hangi doğru
> >    sonuca taşıyacağını nasıl/hangi ölçütle bilebilecektik?.Hani
> >    "matematiğimiz çok sağlam/güvenilir/doğru" idi?
> > c) Buradaki gibi; trigonometriye güvenerek yapacağımız başka bir
> >     kanıtlamanın/bulacağımız bir formülün;eğer bu kanıt veya formül
> >     başka yollarla önceden  kanıtlanmamış/bulunmamışsa,doğruluğuna
> >     nasıl güvenebileceğiz?
> > d) k'nın diğer değerlerinden bu formüllerde elde edilecek sonuçlar
> >     "gereksiz" midir; değilse "nerede/hangi geometride/hangi koşullarda"
> >     doğrudur?Yani bunların "fiziksel gerçekliği" nedir?Bunların hiçbiri
> > değilse
> >     "matematiğimizin" böyle "boş sonuçlar üretmesi" doğru mudur,ne zaman
> > "boş"
> >      ne zaman "dolu" sonuç(lar) vereceğini nereden/nasıl bileceğiz?
> >      Hani matematik "bilimlerin şaşmaz pusulası" idi?
> > Ben bu sorulara "sağlıklı bir yanıt" veremediğim için böyle bir
> > "örnek soru  üzerinden" konuyu liste üyelerinin dikkatine
> > sunmak istedim.Bu sorulara "sağlıklı/mantıklı" yanıtı olan
> > değerli üyeler görüşlerini-sizin gibi- yazarlarsa çok memnun
> > olacağım.İlginize teşekkürlerimle,yaşamınızda başarılar dilerim.
> > A.Kadir Değirmencioğlu
> > Not:İletilerim böyle "uzun" oluyor,beni "kısa/özlü" yazabilme
> > becerisi kazandıramadığı için kabahatlı "edebiyat öğretmenimdir(!)"
> > Kimse beni suçlamasın;edebiyat öğretmen(ler)ime "KIZSIN(!)"
> >
> >
> >
> > ----- Özgün İleti -----
> > Kimden : "Gorkem Ozkaya"
> > Kime : "dede"
> > Cc : md-sorular at matematikdunyasi.org<http://../src/compose.php?send_to=md-sorular%40matematikdunyasi.org&unique_id=dc7da15b1a3dd4500f6fc2d753f50023>
> > Gönderme tarihi : 8/10/2010 8:44
> > Konu : Re: [MD-sorular] Dörtgen
> > Celiskinin kaynagi su ifade:
> >
> > "Cos(M/2)=Cos(N/2) yani M=N bulunur. "
> >
> >
> > 2010/10/6 dede <dede_47 at mynet.com<http://../src/compose.php?send_to=dede_47%40mynet.com&unique_id=dc7da15b1a3dd4500f6fc2d753f50023>
> >
> >>
> >> Sayın Üyeler;
> >>
> >> Sorumun düzeyi orta öğretim düzeyi ama takıldım:
> >>
> >> Kenar uzunlukları a, b, c ve d ve karşılıklı iki köşesinde
> >>
> >> ki açıların toplamı M olan herhangi bir dörtgende:
> >>
> >> u=(a+b+c+d)/2 olmak kaydıyla,dörtgenin S alanı
> >>
> >> S=Kök((u-a)(u-b)(u-c)(u-d)-abcdCos^2(M/2)), (1) ile
> >>
> >> verildiği kanıtlanır.(d= 0 ise üçgenin alanını veren
> >>
> >> Heron formülüne indirgenir) Bu dörtgen de diğer karşılıklı
> >>
> >> iki köşe açısı toplamı N ise yine bu dörtgenin alanı:
> >>
> >> S=Kök((u-a)(u-b)(u-c)(u-d)-abcdCos^2(N/2)), (2)
> >>
> >> olacaktır.Bu iki alan formülünden Cos(M/2)=Cos(N/2) yani
> >>
> >> M=N bulunur. N+M=360 derece olduğundan N=M=180 derece
> >>
> >> çıkar.N=M=180 yukarıdaki alan formüllerine taşınırsa
> >>
> >> S=Kök((u-a)(u-b)(u-c)(u-d)) alan formülü elde ediliyor.
> >>
> >> (yani kirişler dörtgeninin alan formülü) Ama (1) veya (2)
> >>
> >> formülü (örneğin M=125, N=235 derece) M ve N in her değeri için
> >>
> >> doğru alan değeri vermektedir.Bu "durum" nasıl açıklanabilir?
> >>
> >> Saygılarımla...
> >>
> >> A.Kadir Değirmencioğlu
> >>
> >
> >
> > ________________________________
> > Facebook ve Twitter hesaplarını tek yerden güncelle, anında paylaş! Hemen
> > tıkla!
>
>
> ------------------------------
>  İngilizce seviyenizi ücretsiz test edin. Ödül kazanın!.. Tıklayınız.
> <http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=43910&url=http://www.limasollunaci.com/test.asp?firmaid=193>
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20101008/73a05a97/attachment.htm>