[MD-sorular] Ynt: Re: Ynt: Re: İki Soru

28 Eyl 2010 Sal 18:39:38 EEST

Eger sonsuz carpim kosullu yakinsiyorsa, terimlerin sirasinin degismesi
carpimin degerini degistiriyor.  Wikipedia'daki ucuncu ifadeye bakalim (
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product )

1 + toplam u_n <= carpim (1+u_n) <= exp(toplam u_n)

Eger u_n toplami kosullu yakinsiyorsa,  u_n'lerin sirasini degistirerek
esitsizligin ilk ifadesini istedigimiz kadar buyuk, ya da son ifadesini
istedimiz kadar kucuk yapabiliriz.  Bu sekilde sonsuz carpimin farkli
degerler almasini saglayabiliriz.  (bkz. MD 2008 II, sf 38, Riemann
Duzenleme Toremi)

2010/9/28 dede <dede_47 at mynet.com>

> Sayın Kerem Altun;
> Verdiğiniz örnek (yani; I=Çarpım(n;1'den sonsuza:(1+1/(n^2)))
> sonsuz çarpımının  değeri I=Sinh(pi)/pi dır.(Sinh=Sinus hiperbolik)
> Matematik kitaplarının Türkçe/İngilizce hepsinin "Sonsuz Çarpımlı Seriler/
> Infinite Products Series" bölümünde; sonsuz çarpımlı seriler de verdiğim
> "yakınsama" kuralını yazar.İşte İngilizce olanlardan birsinin İngilizce
> metni ve
> Türkçesi: (Yazım zorluğu nedeniyle;yazamadığım yeri toplama ve çarpma
> simgelerinin Yunanca isimlerini yazacağım)
> (If the series "SİGMA u(n)" is absolutely convergent the infinit product
> "PI(1+u(n)" is called absolutely convergent; the product then
> converges to a value independent of the order of the factors.)
> (An Introduction To The Theory Of Infinite Series;A.Bromwich
> Second Edition;1947 Mc Millan.Page 107) Türkçesi:
> Eğer TOPLAM u(n) serisi mutlak/koşulsuz yakınsak ise,
> ÇARPIM (1+u(n)) sonsuz çarpım serisi de mutlak/koşulsuz yakınsaktır;
> (bu halde) sonsuz çarpım; terimlerin sırasından/yerinden bağımsız
> olarak belli bir değere yakınsar.
> Dikkat ederseniz burada "mutlak yakınsak(absolutely convergent)" terimi
> kullanılmıştır;demek ki "mutlak yakınsak olmayan (non-absolutely
> convergent)"
> sonsuz çarpımlı seriler de vardır/olabilir.Bunu düşünerek  o soruyu sordum.
> İyi gün(ler) dileklerimle..
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
>
>
>
>
>
> ----- Özgün İleti -----
> Kimden : "Kerem Altun"
> Kime : "dede"
> Cc : md-sorular at matematikdunyasi.org
> Gönderme tarihi : 28/09/2010 1:43
> Konu : Re: Ynt: Re: [MD-sorular] İki Soru
> Mesajinizi cok anladigimi soyleyemem ama, toplam u(n) yakinsaksa carpim
> (1+u(n)) nasil yakinsak oluyor? Ornegin u(n)=1/n^2 olsun. Bunun yakinsak
> oldugunu biliyoruz. Ama (1+u(n)) her zaman 1'den buyuk bir sayi, bunlari
> carparsaniz bir yere yakinsamaz sanki. Yanlis mi dusunuyorum?
>
>
> Kerem
>
>
> 2010/9/28 dede <dede_47 at mynet.com>
>
>>
>> Sayın Kerem Altun;
>>
>> Kanıtınızı incelediğim kadarıyla beğendim;teşekkür ederim,kısa ve öz bir
>>
>> kanıt olmuş.(Daha inceleyeceğim).1.Sorum, Sinus(x)/x fonksiyonunun
>>
>> sonsuz çarpımlı serisinde karşıma çıktı.Şöyle ki:
>>
>> p(x,n)=(1-x/(n pi)); q(x,n)=(1+x/(n
>> pi)  dersek;(e=2.71828...)
>>
>> Sin(x)/x=p(x,n)q(x,n)=Çarpım(n;1'den
>> sonsuza kadar:(1-(x/(npi))^2) dır.
>>
>> P(x)=Çarpım(n;1'den
>> sonsuza:p(x,n))=(Gamma(1-x/pi))/e,
>> Q(x)=Çarpım(n;1'den sonsuza :
>> q(x,n))=(Gamma(1+x/pi))/e
>>
>> Eğer bu sonsuz çarpımlı seri de terimlerin sırasının değiştirilmesi
>>
>> önemsiz olsaydı Sin(x)/x=P(x)Q(x)
>> olmalıydı,ama olmuyor.
>>
>> P(x)Q(x)=(Gamma(1-x/pi)Gamma(1+x/pi))/e^2 çıkıyor.
>>
>> Gamma(1-x/pi)Gamma(1+x/pi)=x/Sin(x)
>> olduğundan
>>
>> P(x)Q(x)=x/(e^2Sin(x))
>> olmaktadır.
>>
>> Bu yanlışın bence görünür tek nedeni,sonsuz çarpımda sıranın değişmiş
>>
>> olmasıdır; sıra önemsiz olsaydı P(x)Q(x)=Sin(x)/x çıkmalıydı.Başka bir
>> izahını
>>
>> bulamadım,(yoksa var da ben mi bilmiyorum) onun için sıranın
>>
>> değişip/değişmemesini sordum.Burada dikkatimi başka bir nokta daha
>> çekiyor;
>>
>> ona hiç yanıt bulamadım:Eğer, Toplam
>> :u(n) serisi yakınsaksa
>>
>> Çarpım (1+u(n)) sonsuz çarpımının yakınsak;ıraksak ise ıraksak olacağını
>>
>> tüm kitaplar yazıyor.Yukarıda ki, Toplam
>> (n;1'den sonsuza: u(n)=x/(n pi))
>>
>> serisi ıraksak olduğundan Çarpım(n;1'den
>> sonsuza kadar:(1+-x/(n pi))
>>
>> serilerinin de ıraksak olması gerekirken yukarıda verdiğim gibi
>> sırayla
>>
>> (Gamma(1+x/pi))/e  ve (Gamma(1-x/pi))/e değerlerine yakınsamaktadır.
>>
>> Bunu izah edemiyorum.Açıklayabilen olursa memnun olurum..
>>
>> Esenlikle, sağlıkla..
>>
>> A.Kadir Değiğrmencioğlu
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> ----- Özgün İleti -----
>>
>> Kimden : "Kerem Altun"
>>
>> Kime : "dede"
>>
>> Cc : md-sorular at matematikdunyasi.org
>>
>> Gönderme tarihi : 28/09/2010 0:18
>>
>> Konu : Re: [MD-sorular] İki Soru
>>
>> Ikinci sorunuzu yanitlayayim.
>>
>>
>>
>> r sayisi denklemin tamsayi bir koku olsun. Yani f(r)=0.
>>
>>
>>
>> a0 tek oldugundan, a1+...+an toplami cift olmak zorundadir.
>>
>>
>>
>> r cift olamaz, cunku r cift olsaydi a1*r+...+an*r^n de cift olurdu, ve a0
>> ile toplayinca sifir etmezdi.
>>
>>
>>
>>
>>
>> a1+...+an cift oldugundan, a1*r+...+an*r^n toplami da cifttir. Cunku r tek
>> oldugundan, a_k tekse a_k*r^k da tektir, a_k ciftse a_k*r^k da
>> cifttir.
>>
>>
>>
>> a1*r+...+an*r^n cift oldugundan, a0 ile toplayinca 0 etmez. Demek ki r tek
>> de olamaz.
>>
>>
>>
>>
>>
>> Bir celiski elde ettik. Demek ki r tamsayi olamaz.
>>
>>
>>
>> Ilk sorunuzda da, carpim sembolu ile yazilan bir ifadeye "seri" deniyor
>> mu? Kosullu yakinsaklik tanimi var mi? Bence bunlarin yaniti olumsuz.
>>
>>
>>
>>
>>
>> Kerem
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> 2010/9/27 dede <dede_47 at mynet.com>
>>
>>
>>>
>>> Değerli Üyeler;
>>>
>>>
>>>
>>> Benin de iki sorum olacak:
>>>
>>>
>>>
>>> 1) Toplam simgesi altında koşullu yakınsak seriler de,terimlerin
>>>
>>>
>>>
>>>      sırasının değiştirilmesiyle serinin toplamının
>>>
>>> değiştiği bilinir.
>>>
>>>
>>>
>>>      Çarpım simgesi (çarpım serisi) altında koşullu
>>>
>>> yakınsak serilerde de
>>>
>>>
>>>
>>>      terimlerin sırasının değiştirilmesi, çarpım
>>>
>>> serisinin toplamını değiştirir mi?
>>>
>>>
>>>
>>> 2) "f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+.....+an*x^n=0 polinom
>>>
>>>
>>>
>>>      denklemin de eğer f(0)=a0 ve
>>>
>>> f(1)=a0+a1+a2+a3+....an,  toplamı
>>>
>>>
>>>
>>>      tek sayı ise;bu denklemin tamsayılı kökü
>>> yoktur."
>>>
>>> önermesi nasıl kanıtlanır?
>>>
>>>
>>>
>>>      Yardımcı olacaklara teşekkürlerimle,
>>>
>>>
>>>
>>>       Saygılar..
>>>
>>>
>>>
>>>       A.Kadir Değirmencioğlu
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> ------------------------------
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Facebook ve Twitter hesaplarını tek yerden güncelle, anında paylaş!
>>>
>>> Hemen tıkla!
>>>
>>> <http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=52856&url=http://www.birgo.com>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> _______________________________________________
>>>
>>>
>>>
>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>
>>>
>>>
>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>
>>>
>>>
>>> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>>>
>>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> ------------------------------
>>
>>
>> İngilizce seviyenizi ücretsiz test edin. Ödül kazanın!.. Tıklayınız.
>> <http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=43910&url=http://www.limasollunaci.com/test.asp?firmaid=193>
>>
>>
>>
>
>
>
> ------------------------------
>  Facebook ve Twitter hesaplarını tek yerden güncelle, anında paylaş! Hemen
> tıkla!
> <http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=52856&url=http://www.birgo.com>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20100928/e42b712f/attachment.htm>