[MD-sorular] Ynt: bölünebilme

[dede]

Sayın Ahmet Ertürk;


(n) pozitif tamsayı ve n>1 için (2^n-1) in (n) sayısına
bölünemediğinin 


kanıtlanmasını istiyorsunuz. Bu sorunuz, A=(2^n-1)/n eşitliğinde A nın 


tamsayı olamayacağının kanıtlanması demektir.
Kanıtlama için
(2^n-1) in 


(n) sayısına
tam bölündüğünü (dolayısıyla A nın bir tamsayı
olduğunu) kabul 


edelim. Bu kabulümüz altında değişik bir kanıt
yapalım:


(2^n-1)/n
eşitliğini, n=0 da Maclaurin
serisine açalım:


A=(2^n-1)/n=Log(2)+(1/2!)nLog(2)^2+(1/3!)n^2Log(2)^3+(1/4!)n^3Log(2)^4+..


               
       ….+(1/k!)n^(k-1)Log(2)^k+…….
 (1)


buluruz.k→∞ için
oran testi sıfır olduğundan sağda ki seri, n’nin
her değeri için


solda ki eşitliğe denktir.(1) eşitliğinin her iki
yanını (k!) ile çarpalım.Sağdaki her terim


 B bir tamsayı olmak
üzere BLog(2)^k terimlerinin
toplamından oluşacaktır.Log(2)


oransız (irrational) bir sayı olduğundan BLog(2)^k sayısı oransız bir
sayıdır.Halbuki


eşitliğin sol tarafı (Ak!)
olup bir tam sayıdır.Oransız bir sayı, bir
tam sayıya eşit


olamayacağından; bu
A nın tamsayı olduğu kabulümüzle çelişir; yani A tamsayı değildir.


Sonuç: n>1
için, A tamsayı olmadığından (2^n-1)
sayısı (n) ile bölünemez.


Sağlık ve esenlik dileklerimle..
Not:Sorunuz; endüksiyonla belki daha kolayca
kanıtlanabilir.Değişik bir kanıt
aradım, yukarıdakini bulabildim.Umarım,bir düşünce
hatası yapmamışımdır.



A.Kadir Değirmencioğlu




----- Özgün İleti -----
Kimden : "ahmet ertürk" 
Kime : md-sorular at matematikdunyasi.org
Gönderme tarihi : 21/04/2011 15:01
Konu : [MD-sorular] bölünebilme





 n doğal sayı ve n>1 için 
2n-1 sayısının n ile bölünemeyeceğini gösteriniz


 		 	   		  
_______________________________________________
MD-sorular e-posta listesi
sorular at matematikdunyasi.org
http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110421/b185302a/attachment.htm>