[MD-sorular] Cantor

[Gorkem Ozkaya]

Alintiladiginiz uzere, denklem katsayilarinin mutlak degerleri
toplaniyor.  Yani |a| + |b| = 1 denklemini saglayan a ve b
tamsayilarini ariyoruz.  Denklem birinci derece oldugu icin a = 0
olamaz.  O halde |a| = 1, |b| = 0 olmali, yani a = 1 veya a = -1.
Buna karsilik gelen denklemler

x = 0  ve -x = 0

ama bu iki ifade birbirine denk, o yuzden tek bir denklem olarak kabul
edilmis olmali.

Benzer sekilde, 'yuksekligi' 2 olan 3 denklem x + 1 = 0, x - 1 = 0, ve
x^2 = 0 olmali.  Kitabin hesabina gore, muhtemelen 2*x = 0 denkleminin
yuksekligi 2 kabul edilmiyor, cunku onun daha sede sekli olan x = 0
denkleminin yuksekligi 1.

Burada asil onemli olan, herhangi bir h yuksekligi icin sonlu sayida
denklem olmasi. Bunun icin de yukseklik taniminda katsayilarin
kendisin degil, mutlak degerlerinin alinmasi gerekiyor.  Katsayilarin
kendisi alinsaydi, dediginiz gibi sonsuz farkli denklem olurdu.



2011/12/18 dede <dede_47 at mynet.com>:
> Sayın Üyeler;
>
> Okuduğum bir kitabın (Tobias Dantzig; SAYI: Bilimin Dili, Metis Bilim,
>
> 1.Basım: Kasım 2011; Çeviri: Barış Cezar) 188 ve189 sayfalarında ki
>
> aşağıdaki paragrafı bir türlü anlayamadım:
>
> (Cantor'un sonsuza ait bulduğu bazı çıkarımlar anlatıldıktan sonra)
>
> ".......O halde Cantor'un bir sonraki çıkarımı bizi daha az şaşırtacaktır:
>
> Cebir sayıları kümesi de sayılabilirdir. Cantor'un bu teoremi
>
>  ispatlaması insan zekasının zaferidir.
>
>             Cantor bir denklemin yükseklik adını verdiği şeyi tanımlayarak
>
> başlar. Bu değer, denklem katsayılarının mutlak değerleri ile denklemin
>
> derecesinin 1 eksiğinin toplamıdır.Örneğin,2x3-3x2+4x-5=0 denkleminin
>
> yüksekliği  h=16 dır, zira2+3+4+5+(3-1)=16 dır.
>
>             Daha sonra Cantor yükseklik için  herhangi bir h  pozitif
> tamsayısını
>
> kabul eden sonlu  sayıda denklem olduğunu ispatlar.Bu,tüm cebir
> denklemlerini
>
> artan yükseklik gruplarına göre sıralamamızı sağlar;1 yüksekliğinin tek
>
> bir denklemi, 2 yüksekliğinin üç, 3 yüksekliğinin yirmi iki
>
> denklemi vs . olduğu kanıtlanabilir."
>
> Bu alıntının en son büyük puntolu ve siyahladığım son cümlesini bir türlü
>
> anlayamıyorum.Şöyle ki: h=1 olan bir denklem en basit olarak ax+b=0 denklemi
>
> olsun.Tanıma göre bu denklemin yüksekliği, h=1=a+b+(1-1)=a+b olacaktır.
>
> a ve b değişkenleri değiştikçe (toplam=1) "sonsuz adet" ax+b=0 şeklinde
>
> denklem elde edilecektir.Nasıl "1 yüksekliğinin tek bir denklem" olduğu
>
> söylenebilir?.Bu paragrafı açıklayabilecek bir üyenin yardımını rica
> ediyorum.
>
> Saygıyla...
>
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
> Not:Kitabın orijinal İngilizce'si ben de yok, bu itibarla çeviri hatası
> olup/olmadığını
>
>        bilemiyorum.
>
>
>
> ________________________________
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular