[MD-sorular] Fark Denklemi

[Ozan Çelik]

Merhaba,

F(n)=a+bn şeklinde bir çözüm olmamalı. Başlangıç koşulunu sağlamak için a=0
olmalı, bu durumda da F(n)=bn kabul etmiş oluyoruz. Çözersek,

n=(b^2)/(b^2+b-1) çıkıyor, ki b sabit n değişken ise böyle bir durum mümkün
değil.

Soruyu çözemedim. Sadece çözüm için bir yol bulmaya çalışabildim. Aşağıda
neler denediğim yazıyor.

Basit bir program yazarak F(n)'i 50ye kadar hesaplatınca lineere yakın ama
lineer olmayan bir fonksiyon olduğunu görüyorum. Şöyle ki,

f(1)=1
f(2)=1
f(3)=2
f(4)=3
f(5)=3
f(6)=4
f(7)=4
f(8)=5
f(9)=6
f(10)=6
f(11)=7
f(12)=8
f(13)=8
f(14)=9
f(15)=9
f(16)=10
f(17)=11
f(18)=11
f(19)=12
f(20)=12
...

Bazı yerlerde her artan 2 n değeri için f(n) 1 artarken, bazı yerlerde her
artan n değerinde 1 artıyor görünüyor.
Örneğin 3,8,11 ve 16'da n'in her artan değeri için f(n) de bir artıyor
görünüyor. Bu şekilde olan durumları inceleyince,

0   3   8   11   16   21   24   29   32   37   42   45   50   55   58
 +3  +5 +3   +5   +5  +3   +5   +3   +5  +5  +3   +5   +5   +3

yukarıdaki dizideki sayıların duruma göre ya 3 ya da 5 arttığını gördüm, ama
hangi kurala göre 3 veya 5 artacaklarının belirlendiğini bulamadım.
Bunun da 1000'e kadar hesaplayan programını yazıp gözlemleyince ancak şöyle
bir tahmin yürütebiliyorum,

+5 +3
+5 +5 +3
+5 +3
+5 +5 +3
+5 +5 +3

Başta önce 5 sonra 3 artıyor, sonrasında iki kez 5 sonra 3 artıyor...
şeklinde. Dizi bu kurala göre döngüye giriyor olmalı. 1000'den sonra bu dizi
değişiyorsa, orasını bilemiyorum.
Yani net bir sonuç alamadım.
Bunun dışında, fonksiyonun nerelerde azalıp nerede arttığını anlamak için
türevini incelemeyi de denedim, buradakine çok benzer bir +8 +5 durumu
çıktı. Ondan da bir sonuç alamadım.

Ancak şöyle bir şey çıktı:

f'(n)=1-f'(f(n-1))*f'(n-1). Bu durumda, fonksiyon f(n-1) veya n-1 'de
sabitse, n'de artacak. Yok hem f(n-1) hem n-1'de artıyorsa, n'de sabit
kalacak.

Bu da galiba çözüm için yeterli değil.

İnternette bunun gibi denklemleri çözen wolfram alpha programı da bunun için
bir sonuç bulamadı.

Ozan Çelik

2011/1/31 dede <dede_47 at mynet.com>

> Sayın Liste Üyeleri;
>
> *F(0)=0* başlangıç koşuluyla; *F(n)=n-F(F(n-1))*
>
> fark denklemini çözemedim.Başlangıç koşulunu
>
> dikkate almadan, *F(n)=a+bn* şeklinde çözüm arayınca
>
> *a=(1/2)(7+-3kök(5))* *ve b=(1/2)(-1+-kök(5))* bulunuyor;
>
> ancak bu çözüm *F(0)=0* koşulununu sağlamıyor.*Başlangıç *
>
> *koşulu sağlanacak şekilde bu fark denklemin çözümü *
>
> *nedir?*Böyle bir çözüm varsa "bir denkleme iki farklı çözüm"
>
> nasıl açıklanır?
>
> Saygıyla...
>
> A.Kadir Değirmencioğlu
>
>
> ------------------------------
>  Facebook ve Twitter hesaplarını tek yerden güncelle, anında paylaş! Hemen
> tıkla!
> <http://servad.mynet.com/admynet/adredir.asp?ciid=52856&url=http://www.birgo.com>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110131/f43c8377/attachment.htm>