[MD-sorular] re.RE: barysentric koordinatlar

11 Haz 2011 Cmt 23:26:05 EEST

Diyelim R^2'desin, yani duzlemde.
Ucu de dogrusal olmayan uc nokta sec.
Diyelim A, B, C noktalarini sectin.
Simdi P, herhangi bir nokta olsun.
Oyle x, y, z sayilari bul ki, herhangi bir koordinat sisteminde
(x + y + z)P = xA + yB + zC
olsun. Iste bu (x, y, z)'ye P'nin A, B, C'ye gore barisantrik 
koordinatlari denir.
Ornek:
A = (1, 2)
B = (1, 5)
C = (0, 4)
P = (-1, 4)
olsun.
(x + y + z)P = xA + yB + zC
denklemi
(x + y + z)(-1, 4) = x(1, 2) + y(1, 5) + z(0, 4)
denklemine, bu denklem de
-(x + y + z) = x + y
4(x + y + z) = 2x + 5y + 4z
denklem sistemine tekabul eder. (Uc bilinmeyenli 2 denklem.)
Bu denklem sisteminin birden cok cozumu vardir.
Bu cozumlerden biri x = 1, y = -2, z = 3'tür.
Diğerleri x = t, y = -2t, z = 3t'dir. (Cozumler 1 parametreli.)
Iste bu cozumlerden herhangi biri, mesela (1, -2, 3) ya da (5, -10, 15), 
P noktasinin A, B ve C noktalarina gore barisantrik koordinatlaridir.
Bu yontemle A'nin barisantrik koordinatlari (t, 0, 0) ya da (1, 0, 0),
B'nin barisantrik koordinatlari (0, t, 0) ya da (0, 1, 0),
C'nin barisantrik koordinatlari (0, 0, t) ya da (0, 0, 1)
olur.
Eger A, B ve C yerine iki nokta secseydik, ya da bu noktalari dogrusal 
secseydik, o zaman bazi noktalarin barisantrik koordinatlari olmaz, 
olanlarin da cok daha fazla barisantrik koordinatlari (yani iki ya da 
daha fazla parametreli) olurdu.
Ayni seyi genel olarak bir vektor uzayinda yapabilirsiniz.
Eger vektor uzayinin boyutu n ise, tek parametre coklukta cozumler 
bulmak icin (daha azi olmaz), n+1 tane "lineer bagimsiz" afin nokta secin.
A

Let \textbf{x}_1 \ldots \textbf{x}_n be the vertices of a simplex in a 
vector space <http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space> /A/. If, for 
some point \textbf{p} in /A/,

    ( a_1 + \cdots + a_n ) \textbf{p} = a_1 \, \textbf{x}_1 + \cdots +
    a_n \, \textbf{x}_n 

and at least one of a_1 \ldots a_n does not vanish then we say that the 
coefficients (a_1 \ldots a_n) are /barycentric coordinates/ of 
\textbf{p} with respect to \textbf{x}_1 \ldots \textbf{x}_n. The 
vertices themselves have the coordinates \textbf{x}_1=(1, 0, 0, ..., 0), 
\textbf{x}_2=(0, 1, 0, ..., 0), \ldots, \textbf{x}_n=(0, 0, 0, ..., 1). 
Barycentric coordinates are not unique: for any /b/ not equal to zero, 
(b a_1 \ldots b a_n) are also barycentric coordinates of /p/.

When the coordinates are not negative, the point \textbf{p} lies in the 
convex hull <http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_hull> of \textbf{x}_1 
\ldots \textbf{x}_n, that is, in the simplex which has those points as 
its vertices.

On 11.06.2011 23:11, Mahlika Kuban wrote:
> Sayın Ali Nesin Hocam
> önerdiğiniz linki açıp baktım,barysentric koordinatlara ilişkinbol bilgi var,fakat doğru denklemi nasıl yazılır,bu bilgi yok veya ben mibulamadım.Saygılarımla,
> Date: Sat, 11 Jun 2011 22:56:36 +0300
> From: anesin at nesinvakfi.org
> To: mahlika at windowslive.com
> CC: tanerkalyoncu at gmail.com; md-sorular at matematikdunyasi.org
> Subject: Re: [MD-sorular] barysentric koordinatlar
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>      Biz lisedeyken onemli bir konuydu bu.
>
>      Bkz:
> http://en.wikipedia.org/wiki/Barycentric_coordinate_system_%28mathematics%29
>
>      A
>
>
>
>
>
>
>      On 11.06.2011 22:31, Mahlika Kuban wrote:
>
>        Sayın Taner Kalyoncu
> Barisantrik koordinatlarda doğru denklemi nasıl yazılır,bunu pek çok matematikçi okul arkadaşıma ve matematik öğremenlerimesordum, hiç birinden yanıt alamadım,ya yuvarlak laflarla geçiştirdiler veyahiç yanıt vermediler.Sorunuz bir hayli zor gözüküyor,bu konuda bilgiye ulaşırsanız lütfen bana da bildirin.Önceden teşekkürler,Mahlika.
> ---------- İlgili ileti ----------From: taner kalyoncu<tanerkalyoncu at gmail.com>To: md-sorular at matematikdunyasi.orgDate: Thu, 26 May 2011 18:22:20 +0300Subject: [MD-sorular] barysentric koordinatlarbarysentric koordinat nedir? örneğin bunlar bildiğimiz koordinatlar gibidoğru denklemleri yazılabilir mi?
>   		 	   		
>
>
>
>       		 	   		
-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110611/cd714034/attachment.htm>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: 140d0600cf23b3b87e4a0ca9ad783d0f.png
Type: image/png
Size: 323 bytes
Desc: not available
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110611/cd714034/attachment.png>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: bb2b0d14e2b2706fe5d77da5b56037b1.png
Type: image/png
Size: 191 bytes
Desc: not available
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110611/cd714034/attachment-0001.png>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: afd78c5de4205096cb46df933f2cd603.png
Type: image/png
Size: 907 bytes
Desc: not available
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110611/cd714034/attachment-0002.png>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: aecced96d8b51fe565bd25a6f9e94150.png
Type: image/png
Size: 297 bytes
Desc: not available
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110611/cd714034/attachment-0003.png>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: 620cbed69a35a3b462419f0d6f1cf4af.png
Type: image/png
Size: 1276 bytes
Desc: not available
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110611/cd714034/attachment-0004.png>
-------------- next part --------------
A non-text attachment was scrubbed...
Name: 30b03ca9afb17f11d6df23185d545edf.png
Type: image/png
Size: 371 bytes
Desc: not available
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20110611/cd714034/attachment-0005.png>