[MD-sorular] scheme tanımı

[E. Mehmet Kıral]

Benim anladığım kadarını aktarmaya çalışayım.

k bir cisim ve k[X_1, ..., X_n]  n değişkenli polinomlar halkası olsun.
Polinom denen nesneler bir küme üzerinde değerlendirilmek için
yaratılmışlar. Yani polinomlar bir uzayın, ki o da k^n uzayı oluyor,
üzerinde tanımlı fonksiyonlar halkası.

Geometride bu bağlamdaki temel fikir şu: Geometrik uzaylar ve üzerindeki
yapılar aşağı yukarı üzerlerindeki fonksiyonlar tarafından belirlenir. Bu
bağlamda R^3 üç boyutlu gerçel uzayı üzerinde smooth fonksiyonları düşünmek
ya da polinomyel fonksiyonları düşünmek, ya da gerçel analitik
fonksiyonları düşünmek üç farklı geometrik uzaydan bahsetmek oluyor.

O zaman herhangi bir değişmeli halkayı alalım, diyelim R. Bu halka bir uzay
üzerindeki fonksiyonlar halkası olacak. Hangi uzay diye sorarsanız, bu anda
halkadan bir topolojik uzay yaratmak gerekiyor, bu bağlamda da Spec(R) ya
da Spm(R) uzayları devreye giriyor. p maksimal ya da asal ideali bir nokta,
ve f \in R de bir eleman olsun. Bu elemanı bir fonksiyon gibi düşüneceğiz,
ve p noktasında bu fonksiyonu değerlendirdiğimiz zaman elde ettiğimiz değer
f mod (p) \in R/p olacak. Eğer p bir maksimal idealse R/p bir cisim asal
ideal olması durumunda da fonksiyon bu noktada bir tamlık bölgesinde değer
alıyor. Potansiyel olarak bir fonksiyon her bir noktada farklı bir halkada
değer alabilir. Yine de fonksiyonları noktasal olarak (pointwise) toplamak
ve çarpmak mümkün.

k[X_1, ... ,X_n] halkasinda <X_1- a_1, ..., X_n - a_n> maksimal idealinde,
(ya da yeni terminolojiyle noktasında), bir f polinomunun aldığı değer
k[X_1, ... , X_n]/<X_1-a_1,..., X_n- a_n> ~=~ k cisminde yer alır. Ve hatta
aldığı değer de k cisminde tam olarak f(a_1,..., a_n) sayısıdır.

En azından bu örnekte maksimal idealler kafamızda oluşturmak istediğimiz
uzayın öz be öz noktalarına tekabül ediyor. Maksimal olmayan asal idealler
ise noktalara değil de altuzaylara (bizim örnekte subvarietylere) karşılık
geliyor. Halkanın bir f elemanı da bu asal ideal üzerinde değerlendirildiği
zaman, o altuzay üzerinde tanımlı bir fonksiyon olmuş oluyor. Örnek
verelim: C karmaşık sayılar olmak üzere C[X,Y] halkasındaki <X - aY - b>
asal ideallerinin her biri C^2 üzerindeki bir doğruya tekabül ediyor. Bir
f(X,Y) polinomunu (halka elemanını) bu ideallerin üzerinde
değerlendirdiğimiz zaman f(aY+b,Y) biçiminde bir fonksiyon elde ediyoruz.
Noktalarımızı bu boyutu 1 olan asal idealler üzerinde gezdirdiğimiz zaman
(mesela a ve b karmaşık sayılarını oynattıkça), C^2'nin bir boyutlu
altuzaylarının (subvariety) üzerinde dolaşıyoruz.

Yani özet olarak Spm(R), R ile alakalı uzayda sadece bildiğimiz anlamda
noktalara tekabül ederken, Spec(R) ise fikir olarak hem o noktaları (closed
points) hem de altvaryetelerin parametre uzayını bütünleştiriyor.

Söylemem gereken bir şey daha var, nasıl R^3 uzayını üzerilerindeki
fonksiyonlar farklılaştıkça farklı olarak düşünmemiz gerekiyorsa, Spec(R)'ı
Zariski topolojisiyle sadece bir topolojik uzay olarak düşünmek yanlıştır.
Çünkü Spec(R) topolojik uzayını üzerindeki seçilmiş fonksiyonlar halkası R
olan bir uzay olarak düşünmemiz gerekiyor. Alakalı jargonuyla söylersek
structure sheaf'i ile birlikte düşünmemiz gerekiyor.
U kümesi SpecR'nin açık bir altkümesi olsun.
O_SpecR (U) kümesi U üzerindeki seçilmiş fonksiyonların halkasıysa
O_(SpecR) (Spec(R)) = R olmalı.
Tüm uzayda değil de bir açık altkümede tanımlı fonksiyonlara bakalım. f in
R herhangi bir eleman olsun. f'nin 0 olduğu noktalar kümesi tam olarak da f
mod(p) = 0 \in R/(p) olduğu p asal idealleri yani f \in p olduğu asal
idealleri kümesidir. Bu kümenin tümleyenine D_f dersek, bu altuzay üzerinde
tanımlı fonksiyonlar daha fazla.
Daha küçük bir uzayda izinli fonksiyonlar daha fazla olur, çünkü
çıkardığımız noktalarda patlayan fonksiyonları da dahil edebiliriz. Gerçel
sayılardan 0 noktasını çıkardığımızda 1/x fonksiyonunu dahil edebilmemiz
gibi.
Yani D_f noktaları üzerinde f'ye bölmek mümkün, 1/f, 1/f^2,... artık hep
izinli fonksiyonlar. R halkasının {1, f, f^2,... } çarpımsal kümesinde
yerelleştirilmesi tam olarak da f'ye bölebilmek anlamına geldiğinden
O_SpecR (D_f) = R_f

Tek bir noktaya, yani asal ideale, yerelleştirmek isterseniz, doğru
tanımları yaptıktan sonra izinli fonksiyonların tam olarak da p asal
ideallerindeki yerelleştirme yani R_p olduğunu görürsünüz.

Demek istediğim sadece SpecR uzayını değil, onunla birlikte her U açık
altkümesinde bize R'den türetilmiş bir halka veren ve o açık küme üzerinde
tanımlı ve izinli fonksiyonlar halkası anlamına gelen O_SpecR (U) yapısını
da düşünmek gerekiyor.

Biraz uzun oldu kusura bakmayın, ama konu uzun ben ne yapayım.

2011/11/20 Ezgi Kantarcı <ezzzgi at gmail.com>

> Schemeler çoğu kaynakta Spec, yani asal idealler üzerinden tanımlanıyor.
> Biz de derste bunun yerine Spm, yani maksimal ideallerden tanımlayıp aynı
> teoremlerin bu şeklini kanıtladık. İki tanım eşdeğer değil gibi, ama aynı
> işlevi görüyorlar, en azından bizim işlediğimiz kısımda. Ben de bu iki
> tanımın farkını anlamaya çalışıyorum, birini değil diğerini kullanmanın
> avantajı nedir, ve ne dereceye kadar eşdeğerler. Bu konuda bilgisi olan
> veya önerebileceği kaynak olan varsa benimle paylaşabilirse sevinirim.
> Sevgiler,
> Ezgi
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>



-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20111120/edcf6494/attachment.htm>