[MD-sorular] doğal sayılar (Ekleme)

[Burak Kaya]

Önceki e-mail'da Edward Nelson'dan söz ettim. Kendisinin 2007 yılında 
verdiği bir konuşmanın slaytlarının bağlantısını vereyim: 
https://web.math.princeton.edu/~nelson/papers/hm.pdf

Spekülatif kısımlarını atladığınızda aslında arkada çok da boş olmayan 
bir argüman çıkarılabilir gibi sanki.

Temel olarak Nelson'ın ilk "kullandığı" nokta birincil derece mantığın 
doğal sayıları karakterize edememesi: Diyelim ki "gerçek sayı" diye bir 
kavram ürettik. Bir sayı eğer 0, S0, SS0, SSS0,... sayılarından biri ise 
bu sayıya "gerçek" sayı diyelim. Bu kavramı formalize edemeyiz çünkü 0 
ile başlayıp S (ardışık alma) operasyonunu "sonlu" kere uygulamak 
isteyeceğiz. Bunu formalize edemeyiz çünkü zaten ne "sonlu" ne değil onu 
tanımlamaya çalışıyoruz ve döngüsellikten kaçınmalıyız.

Tıkızlık teoremi ile PA'nın standard olmayan, yani "gerçek" olmayan bir 
sayı içeren modelleri olduğu kanıtlanabilir. Yani öyle bir modelimiz ve 
bu modelde öyle bir x sayısı var ki x, 0'dan S0'dan SS0'dan... farklı. 
Kısaca PA doğal sayıları "gerçekten" karakterize edemiyor (öte yandan bu 
PA'nın değil birincil derece mantığın suçu orası ayrı!).

Bu durumda bir "unary predicate" phi(x) ekleyelim diyor kendisi. Öyle ki 
phi(x) yukarıda yapamadığımızı yapıp "gerçek" sayıları karakterize etmek 
üzere tanıtılmış bir predicate, öyle ki phi(0) doğru ve phi(x)->phi(Sx), 
bunlar sağlamasını beklediğimiz en düşük özellikleri. Buradan sonra 
phi(x)'in sadece bu özelliklerini kullanarak a ve b phi'yi sağlayan iki 
şey ise a+b'nin phi(x)'yi sağladığını kanıtlayamayacağını gösteriyor. 
Daha sonra phi(x)'i bunu yapmak üzere "genişletmeye" çalışıyor, phi 
üzerinden phi^0, phi^1, phi^2 tanımlıyor öyle ki phi^2(x) şu özellikleri 
sağlıyor: phi^2(0), x ve y phi^2 yi sağlıyorsa, x'den önceki tüm sayılar 
x+y, x*y, x+1 de phi^2 yi sağlar ve x, y phi'yi sağlar.

Kısaca "gerçek" sayıları karakterize etmek üzere eklediğimiz phi iki 
"gerçek" sayının toplamının "gerçek" olduğunu kanıtlayamıyordu, bunun 
üzerine bunu phi^2 diye bir "predicate"a genişlettik öyle ki phi^2 daha 
iyi bir karakterizasyon veriyor, phi^2 yi sağlayan şeyler hem 
"gerçek"ler hem de toplama ve çarpma altında kapalılar. Peki buna devam 
edebilir miyiz? Daha sonra bunu ilerletip üst alma ve süper üst alma 
altında kapalı phi^3 ve phi^4 predicateları bulamayacağımızı (kanıtını 
vermiyor ama kanıtladığını) söylüyor.

Buradan da öyle bir phi^4 bulamıyoruz ya, belki de durmayan (yani 
SS...S0 şeklinde bir "gerçek" sayıya uyguladığımızda sonlu adım sonunda 
durup başka bir SSS......S0 sayısı vermeyen) bir süper üst alma işlemi 
tanımlanabileceğini umuyor.
On 12/17/2012 6:06 PM, E. Mehmet Kıral wrote:
> Zürafanın varlıığı ile matematiksel nesnelerin varlığının aynı 
> olmadığı kesin. Daha doğrusu en azından ikisi arasına (belki de 
> yüzeysel olan) bir ayrım koyabiliriz. Zürafa, eğer varsa, insanların 
> dışarısında vardır, ve duyularımızla onu algılayabiliriz. Zürafanın 
> fikrinden değil, bizatihi kendisinden bahsediyorum. Matematiksel 
> nesnelerin bu çeşit bir algılamaya müsade etmediği belli.
>
> Matematiksel nesnelerin varlığı hakkındaki görüşüm ise şöyle. Size 
> doğru atılan bir taşın kinetik enerjisinin gerçekliği neyse, 
> matematiksel nesnelerin gerçekliği de o kadardır.
> Taşın pozisyonu zürafanın varlığıyla eşdeğer düzeyde gerçektir, 
> kütelsi de öyle (diyelim). Taşın hızının varlığını nereye 
> konumlandıracağımı bilemedim. Ancak kesinlikle (mv^2) /2 gibi bir 
> miktar doğadan direkt gözlemlediğimiz bir şey değildir. Ancak yine de 
> aklımızda onu hesaplayabiliyoruz.
> Dünyada kinetik enerjiyi hesaplayacak kimse olmasaydı, kinetik enerji 
> yine de var olur muydu emin değilim. Sanırım olmazdı.
>
> Matematiksel nesneler de benzer şekilde, (doğada olan şeylerden 
> bahsediyor olsalar dahi), insan olmasaydı varolamazlardı.
>
> Not: Taşın konumu ve hızı ve kütlesi de insan olmadan ölçülemeyecek 
> miktarlar olduklarını söylerseniz, size katılabilirim, ama bu 
> argümanımı zayıflatmaz aksine örneği verebilmek için taa kinetik 
> enerjiye kadar çıkmam gerekmediğini gösterir.
>
> Sonsuzluk ise apayrı bir konu, onun hakkında ne düşüneceğimi bilemiyorum.
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesi
> sorular at matematikdunyasi.org
> http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular

-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20121217/d56533e4/attachment.htm>