[MD-sorular] Bir topoloji sorusu

[Burak Kaya]

Rica ederim. İlginç bir soruymuş. Ben de sizin sorunuzla sayılabilir durum
için olan kanıtı genellemeye çalışırken MA ile alakalı olabileceğini
düşünerek Google'da aramaya karar verdiğimde fark ettim.

Altta attığım MathOverFlow linkinde ve Wikipedia'da bahsedilen genel sonuç
("\lambda < continuum ise 2^\lambda dizisel tıkızdır") şurada var:  Mary
Ellen Rudin / "Handbook of Mathematical Logic" (şansımıza Google Books
görüntülemeye izin veriyor!):
http://books.google.com/books?id=b0Fvrw9tBcMC&pg=PA491&lpg=PA491&dq=mary+ellen+rudin+handbook+of+mathematical+logic&source=bl&ots=7o6YE7sRkn&sig=w3Bl7UcXBO-B9F44p1mME6d2CDg&hl=en&sa=X&ei=It0OUKn9Fsa36QHXxYGQBA&ved=0CDMQ6AEwAA#v=onepage&q=mary%20ellen%20rudin%20handbook%20of%20mathematical%20logic&f=false
(Corollary
10).

2012/7/24 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>

>
> Cok tesekkurler, cok yararli oldu.
> (Ilk mesajini nedense almadim ama.)
> Verdigin sayfada sorulan bir soru ilginc: [0,1]^[0,1] uzayinin tikiz
> oldugu Secim Aksiyomu kullanilmadan kanitlanabilir mi? Sanmiyorum.
> A
>
>
>
> On 24.07.2012 10:29, Burak Kaya wrote:
>
> Küçük teknik detaylar:
>
> O "köşegen" kısmı o kadar da hadi köşegeni alalım deyince olmuyormuş onu
> fark ettim! Şöyle bir şey lazım:
>
> \gamma bir limit ordinal olsun. \beta_0 < \beta_1 < ... < \beta_n <  ... <
> \gamma olacak bir beta ordinal dizisi sabitleyelim (\gamma'nın
> cofinality'si \omega olduğu için böyle bir dizi bulabiliriz).
>
> A_\gamma'yı seçerken, {A_\beta_n}'in "köşegenini" (ilk kümenin ilk elemanı,
> ikincinin ikinci vs.) almamız lazım.
>
> Belki şu an fark etmediğim doldurulması gereken başka detaylar da vardır
> emin değilim. Fark ederseniz düzeltin lütfen.
>
> Burak.
>
> 2012/7/24 Burak Kaya <burakvonkaya at gmail.com> <burakvonkaya at gmail.com>
>
>  Sorduğunuz şey görünüşe göre ZFC'den bağımsız. Şöyle ki:
>
> Zaten ZFC+CH'nin sayılabilir dizisel tıkız çarpımların dizisel tıkız
> olmadığını kanıtladığını yazmışsınız.
>
> Martin'in aksiyomu altında ise tam tersi doğru. ZFC+~CH+MA, \prod_\omega_1
> {0,1}'in dizisel tıkız olduğunu kanıtlıyor(muş).
>
> http://mathoverflow.net/questions/24437/is-compact-implies-sequentially-compact-consistent-with-zf (buradaki
> ilk cevap)http://en.wikipedia.org/wiki/Martin's_axiom#Consequences_of_MA.28k.29
>
> Eğer öne sürülen kanıt fikrini yanlış anlamadıysam kanıtta çok yeni bir
> fikir yok. Sayılabilir durumun kanıtındaki gibi bir (x_n)_{n=0}^\infty
> \subset  \prod_\omega_1 {0,1} verilsin. Her \alpha < \omega_1 için
> (x_n(\alpha))_{n=0}^\infty dizisinden {0,1} üzerindeki dizisel tıkızlığı
> kullanarak bir alt dizi çıkarıyoruz (aslında alt dizinin indeks kümesini
> çıkarıyoruz diyelim). Limit ordinallerde de köşegenini alıyoruz. A_\alpha,
> \alpha'nıncı basamakta elde ettiğimiz yakınsak alt dizinin indeksi olsun.
>
> Bu işlemin sonunda da her \alpha < \beta < \omega_1 için A_\beta
> \subset A_\alpha \subset \omega elde ediyoruz ki ,  A_\alpha'nın
> indekslediği alt dizi \alpha'dan önceki koordinatlarda yakınsak (köşegen
> alma işleminin bu kısmı garantilemesi lazım) ve her \alpha < \beta <
> \omega_1 için |A_\alpha|=\omega ve |A_\alpha - A_\beta| < \omega oluyor.
>
> Önceki cümledeki son iki özellikten dolayı da Martin'in aksiyomunun da
> bilinen bir sonucu olarak (Kunen. Teorem 2.15'den çıkıyor), öyle bir d
> \subset \omega vardır ki her \alpha için |d \cap A_\alpha|=\omega ve |d
> \cap A_\alpha^complement|< \omega oluyor.
>
> Bu d kümesinin indekslediği alt dizi yakınsak çıkacak.
>
> Gecenin bir vakti her şeyi açık açık yazarak kontrol etmedim ama doğru
> gibi gözüküyor. Bir yerlerinde yanlışlık varsa haber edin!
>
> Burak.
>
>
>
> 2012/7/23 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org> <anesin at nesinvakfi.org>
>
>  {0, 1} kumesini ayrik topolojiyle donatalim.
> A bir kume olsun.
> {0, 1} kumesinin A defa carpim kumesini alalim. Yani X = \prod_A {0, 1}
> kumesine bakalim.
> X'i carpim topolojisiyle donatalim.
> X'in tikiz oldugunu Tychonoff'tan dolayi biliyoruz.
> Soru: X dizisel tikiz midir, yani her dizisinin yakinsak bir altdizisi
> var midir?
> Eger A = N = \omega ise, X dizisel tikizdir. Kaniti pek zor degil.
> Eger A = R = 2^\omega ise, X dizisel tikiz degildir. Bunun kaniti o kadar
> kolay degil ama mumkun.
> Dolayisiyla kardinalitesi R'den buyuk A kumeleri icin de X dizisel tikiz
> olamaz.
> Diyelim sureklilik hipotezi dogru degil.
> A = \omega_1 = ilk sayilamaz kardinal ise (mesela!) X dizisel tikiz midir?
> Ali
> ______________________________**_________________
> MD-sorular e-posta listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.**tr/cgi-bin/mailman/listinfo/**md-sorular<http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular> <http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular>
>
>
>
> _______________________________________________
> MD-sorular e-posta listesisorular at matematikdunyasi.orghttp://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular
>
>
>


-- 
Burak.
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20120724/265ca3c9/attachment.htm>