[MD-sorular] sonlu metrik uzay

4 Eyl 2012 Sal 07:02:26 EEST

1. Eğer R^n üzerinde eş uzaklıktaki noktaların her biri üzerinden geçen bir
küre varsa, ki yukarıda verdiğim e_1, ... , e_n örneğinde noktalar, ağırlık
merkezlerine eş uzaklıkalardı. Dolayısıyla yapılabilir.
İlk önce bir eğri çizerim uzay içerisinde bütün bu noktalardan geçecek
şekilde. Daha sonra da bu eğriyi değil de biraz önce bahsi geçen küre
üzerine olan gölgesini alırım. Gölgeler kürenin merkezindeki bir ışık
kaynağına göre çıkıyorlar.

2. 13. boyut hesabını ben yaptım ama yanlış yapmışım. Akla gelen ilk yöntem
işe yarıyor. a yarıçaplı bir m-küre üzerinde alınan bir noktadan 1
yarıçaplı bir (n-1)-küre çizildiği zaman (R^(n) içindeyiz) bu iki kürenin
kesişimi kosinüs teoreminden kök(1-1/(4a^2)) çıkıyor. a = 1 aldığımız zaman
ikinci adım kök(3)/2 oluyor. Bir sonraki adımda a = kök(3)/2 alınca daha
küçük bir sayı çıkıyor. Ancak bu dizi küçülerek 1/kök(2) sayısına
yaklaşıyor ki, kendisi 1/2'den büyük. Dolayısıyla her zaman bir kesişim
olur.

2.5 Neden akla gelen ikinci yöntem olmalıydı, ilk yöntem nedir.

3. Kendim bulmadım, internette gördüm. Şöyle bir kanıt var. n boyutlu
uzayda olalım. m+1 adet birbirinden eş uzaklıkta noktamız olsun.
Birbirlerine mesafeleri 1 olsun. Noktalardan ilkini orijine koyalım ve
diğer noktalara vektör muamelesi yapalım. Şimdi x_1 ... x_m elimizde m adet
vektör. Kendileriyle iç çarpımları 1, ve
(x_i - x_j) . (x_i - x_j) = 1 eşitliğinden x_i . x_j = 1/2 çıkıyor.
Buradan bu vektörlerin doğrusal bağımsız olduğunu göstereceğiz. Bu da m
küçükeşit n demek oluyor. Demek ki en fazla hakikaten n+1 nokta ile
düşündüğümüz şey mümkünmüş.
Diyelim bir doğrusal bağıntımız olsun.
a_1x_1 + ... + a_m x_m =0

Çeşitli vektörlerle iç çarpımını alarak. a_i sayıları öyle sayılarmış ki m
adet lineer bağıntı sağlıyorlarmış. Herhangi bir a_i'nin kendisi ve diğer
tüm katsayıların yarısının toplamı 0.
Bu lineer bağıntıların tek çözümü de a_1 = ...  = a_m = 0

2012/9/3 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>

>
> 1. Kerem Altun'un sorusu ilginc bir soruya donusebilir sanki. O egriyi
> mesela Kerem Altun'un sozunu ettigi kurenin ustunde ve sonsuz
> turevlenebilir bir egri olarak cizebilir misin? Egri olmak zorunda degil,
> daha yuksek boyutlu sonsuz turevlenebilir bir manifold da olabilir.
> 2. Bana yazdiklarindan "akla gelen ilk yontem" benim de aklima gelen ilk
> yontemdi (ki aslinda akla gelen ikinci yontem olmaliydi!) Kurelerin
> kesismeyecekleri bir an aklima geldi ama cabuk sildim!
> 13'uncu boyut hesabi sen mi yaptin, yoksa bir yerde mi gordun?
> 3. Su teorem hala kanit bekliyor anladigim kadariyla:
> Teorem: n boyutlu Oklid uzayinda es-uzaklikta en fazla n+1 nokta
> secilebilir.
> A
>
>
> On 03.09.2012 03:52, E. Mehmet Kıral wrote:
>
>> @Kerem Altun: Öyle üzerinde olduğumuz manifoldu değiştirerek iş
>> yapacaksak,
>> n noktalı simpleksi alırız, sonra bir eğriyi eğe büke tüm bu noktalardan
>> geçiririz. Alın o zaman tüm noktaları 1 boyutlu manifoldun üzerinde de
>> çizdim. Manifoldun üzerine de R^(n+1)'in içinde bulunmaktan gelen metriği
>> koyuyoruz.
>>
>> Velhasıl gömeceğimiz uzayın vektör uzayı olduğunu düşünmezsek soru
>> ilginçliğini yitiyor.
>>
>> @Ali Nesin: Durum şunu düşününce daha da şaşırtıcı belki de. Akla gelen
>> ilk
>> yöntemi uygulayalım. n boyutlu uzayda 1 nokta seçelim ve etrafına bir
>> birim
>> küre çizelim. Küre üzerinde herhangi bir nokta alalım ve o noktadan da
>> herhangi bir birim küre çizelim. Bu iki kürenin kesişimi n-2 boyutlu bir
>> küre yüzeyidir ve onun üzerinde herhangi bir nokta seçelim ve o nokta
>> merkezli birim küreyi elimizdeki n-2 boyutlu kesişim küresiyle
>> kesiştirelim. Her bir adımda noktaları seçebileceğimiz kümenin boyutu
>> birer
>> birer azalıyor taa ki bir doğru parçasıyla n-1 boyutlu küre yüzeyi 2 adet
>> 0
>> boyutlu noktada kesişene kadar. Yani n +1 adet nokta seçtik.
>>
>> Şimdi bu akla gelen ilk yöntemde merak ediyoruz ve diyoruz ki bu elde
>> ettiğimiz m < n-1  boyutlu kürelerin yarıçapları hiç 1/2'den küçük olur
>> mu,
>> çünkü olursa m-kürenin üzerinde alacağımız bir noktadan çizilen birim
>> küre,
>> m boyutlu küre ile kesişmez.
>>
>> Nitekim hesap gösteriyor ki 13. boyut ve sonrasında bu yarıçap yarıdan aza
>> düşüyor.
>>
>> Demek ki akla gelen ilk yöntem olmuyor, ve noktaları rasgele seçmek düşük
>> boyutlarda işe yararken, büyük boyutlarda seçimin önemi oluyor ve rasgele
>> seçmekten daha akıllıca bir yöntem uygulamak gerekiyor.
>>
>> Mesela şu seçim işe yarıyor. n boyutlu uzayda e_1 = (1, 0,0, ..., 0), e_2
>> =
>> (0, 1, 0, ..., 0) , ... , e_n = (0,0,... ,0,1) noktalarını seçelim. Bu
>> noktalar hep birbirlerine eş uzaklıktadır. Dahası n boyutlu uzayda n nokta
>> bir hiperdüzlem belirlediğinden, bu noktalardan geçen n-1 boyutlu bir afin
>> uzay vardır. İşte n noktalı ayrık metrik uzayı n-1 boyutlu gerçel uzayın
>> içerisine gömdük.
>>
>> NOT: Bu işte bir gariplik var, anlamadım.
>>
>> 2012/9/2 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com>
>>
>>  Dusundum de, 4 nokta icin illa 3 boyut gerekmiyor. Mesela resmi S^2
>>> uzerine cizebiliriz, iki boyut sayilir bu herhalde sonucta. Benzer
>>> sekilde
>>> 3 nokta da S^1 uzerine cizilir.
>>>
>>> Peki mesela 5 nokta S^2 uzerine cizilmez mi?
>>>
>>> Kerem
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> 2012/9/2 Ali Nesin <anesin at nesinvakfi.org>
>>>
>>>  Cok guzel bir soru gercekten.
>>>> n+1 noktali bu ayrik metrik uzayin R^n'ye gomulebilmesi bile aslinda
>>>> daha
>>>> sasirtici.
>>>> A
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> On 03.09.2012 00:26, E. Mehmet Kıral wrote:
>>>>
>>>> n-simpleks n-1'den daha dusuk boyuttaki gercel vektor uzayinin (R^n)
>>>> icine
>>>> izometrik olarak gomulebilir mi sorusunun yaniti hayir olmali.
>>>>
>>>> 3 nokta 2 boyuttan daha az uzay icerisine gomulemez.
>>>>
>>>> Bu onermenin n boyutlusu cok bariz geliyor ama bir kanitini goremedim.
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> 2012/9/2 Karatug Ozan Bircan <karatugo at gmail.com> <karatugo at gmail.com>
>>>>
>>>>
>>>>   Simplex deniyor. http://en.wikipedia.org/wiki/**Simplex<http://en.wikipedia.org/wiki/Simplex>
>>>>
>>>> --*Karatug Ozan Bircan*
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> 2012/9/2 Kerem Altun <kerem.altun at gmail.com> <kerem.altun at gmail.com>
>>>>
>>>>
>>>>   Merhaba,
>>>>
>>>> 3 elemanli bir kumemiz olsun. Bu kumede bir metrik tanimlayalim. x ve y
>>>> arasindaki mesafe, x=y ise 0 olsun, degilse 1 olsun. Bu kumenin resmini
>>>> iki
>>>> boyutta cizebiliriz, elemanlar bir eskenar ucgenin koseleri olur.
>>>>
>>>> Kume 4 elemanli olursa bu resmi 3 boyutta cizebiliriz. Bu durumda
>>>> elemanlar bir duzgun dortyuzlunun (tetrahedron) koseleri olur.
>>>>
>>>> Kume N elemanli olursa ne olur? Karsilik gelen resmi mutlaka N-1 boyutta
>>>> mi cizmemiz gerekir? Bu seklin bir ismi var mi?
>>>>
>>>> Tesekkurler,
>>>> Kerem
>>>>
>>>>
>>>> ______________________________**_________________
>>>> MD-sorular e-posta listesisorular@**matematikdunyasi.orghttp://lis**
>>>> ts.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/**mailman/listinfo/md-sorular<http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular>
>>>>
>>>>   ______________________________**_________________
>>>> MD-sorular e-posta listesisorular@**matematikdunyasi.orghttp://lis**
>>>> ts.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/**mailman/listinfo/md-sorular<http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> ______________________________**_________________
>>>> MD-sorular e-posta listesisorular@**matematikdunyasi.orghttp://lis**
>>>> ts.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/**mailman/listinfo/md-sorular<http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> ______________________________**_________________
>>>> MD-sorular e-posta listesi
>>>> sorular at matematikdunyasi.org
>>>> http://lists.math.bilgi.edu.**tr/cgi-bin/mailman/listinfo/**md-sorular<http://lists.math.bilgi.edu.tr/cgi-bin/mailman/listinfo/md-sorular>
>>>>
>>>>
>>>
>>
>

-- 
Eren Mehmet Kıral
-------------- sonraki bölüm --------------
Bir HTML eklentisi temizlendi...
URL: <http://lists.math.bilgi.edu.tr/pipermail/md-sorular/attachments/20120904/e1422128/attachment.htm>